Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг.

Задача:
Сколько нечётных чисел можно записать, пользуясь цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, каждую из которых можно использовать не более одного раза, при этом рассматриваются:

1. трёхзначные числа
2. четырёхзначные числа

---

Важные моменты:

• Числа должны быть нечётными → последняя цифра должна быть нечётной.
• Цифры не могут повторяться в числе.
• Первая цифра числа не может быть равна нулю, иначе число не будет трёх- или четырёхзначным.

---

1. Трёхзначные нечётные числа

Шаг 1. Определим возможные последнии цифры (направлены на нечётность):

Нечётные цифры среди заданных: 1, 3, 5

Количество вариантов для последней цифры: 3

---

Шаг 2. Выбираем первую цифру:

• Первая цифра не может быть нулём.
• Она должна быть среди оставшихся цифр (кроме выбранной последней).

Обозначим:

• Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5
• Последняя цифра: выбрана из {1, 3, 5}

Для каждого варианта последней цифры:

• исключаем её из множества возможных цифр.
• первая цифра выбирается из множества цифр, где исключён 0, а также исключена выбранная последняя цифра.

Рассмотрим случаи.

---

Случай 1: последняя цифра = 1

• Используемые цифры: {0, 2, 3, 4, 5}
• Первая цифра не может быть 0, потому что это общая для всех случаев.

Оставшиеся цифры для первой позиции (исключая 1, так как она уже занята последней):

• Цифры для первой позиции: 2, 3, 4, 5 (0 недопустимо, так как первая цифра не может быть нулём)

Количество вариантов для первой цифры: 4

---

Случай 2: последняя цифра = 3

• Используемые цифры: {0, 1, 2, 4, 5}
• Первая цифра не может быть 0, и она не может быть 3, так как цифра уже использована.

Возможные для первой цифры: 1, 2, 4, 5

Количество вариантов для первой цифры: 4

---

Случай 3: последняя цифра = 5

• Используемые цифры: {0, 1, 2, 3, 4}
• Первая не может быть 0, и не может быть 5.

Возможные для первой цифры: 1, 2, 3, 4

Количество вариантов для первой цифры: 4

---

Шаг 3. Выбор второй цифры:

После выбора первых и последних цифр остаются изначально 6 цифр (0,1,2,3,4,5), исключая использованные для первых двух позиций, остается 4 цифры.

Кол-во вариантов для второй цифры:

• После выбора первой и последней цифры, вторая — выбирается из оставшихся, то есть 4 варианта.

---

Итог для каждого случая:

• Вариант для последней цифры (3 варианта)
• Для каждого варианта: 4 варианта для первой цифры
• Для каждого такого варианта: 4 варианта для второй цифры

Общее число трёхзначных нечётных чисел:

\[ 3 \text{ (последняя)} \times 4 \text{ (первая)} \times 4 \text{ (вторая)} = 48 \]

---

2. Четырёхзначные нечётные числа

Аналогично, только последние цифры остаются те же, то есть 1, 3, 5.

Шаг 1. Последняя цифра — нечётная, 3 варианта.

Шаг 2. Первая цифра:

• Не может быть 0.
• Не может быть выбрана как последняя цифра — исключена из варианта.

Общее множество цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Для каждой последней цифры:

• Можно выбрать первую цифру из оставшихся, исключая 0 и выбранную последнюю цифру.

Рассмотрим случаи.

---

Случай 1: last digit = 1

Доступные цифры для первой: {0, 2, 3, 4, 5}

Исключая 0 из потенциальных вариантов (первая цифра не может быть нулём):

• Возможные для первой: 2, 3, 4, 5 (не выбираем 0)

Количество вариантов: 4

---

Случай 2: last digit = 3

Доступные цифры: {0, 1, 2, 4, 5}

Исключая 0 для первой:

• Возможные: 1, 2, 4, 5

Количество вариантов: 4

---

Случай 3: last digit = 5

Доступные цифры: {0, 1, 2, 3, 4}

Исключая 0:

• Возможные: 1, 2, 3, 4

Количество вариантов: 4

---

Шаг 3. Выбор второй и третьей цифры:

После выбора первой и последней цифр остается 4 цифры (из 6, минус выбранные), которые нужно распределить на две позиции.

Общее число вариантов для двух оставшихся позиций:

• Первая из оставшихся 4 цифр
• Вторая — из оставшихся 3

Количество способов:

\[ 4 \times 3 = 12 \]

(поскольку порядок важен, то 4 варианта для второй позиции и 3 для третьей после выбора первой и второй)

---

Итог для каждого варианта последней цифры:

• Вариант 1: last digit = 1

  • Варианты для первой: 2, 3, 4, 5 — 4 варианта

  • Для каждой из этих, остаётся 4 цифры для второго выбора и 3 для третьего: 12 вариантов

  • Общее для этого случая: \(4 \times 12 = 48\)

• Вариант 2: last digit = 3

  • Аналогично: 4 варианта для первой цифры, 12 вариантов для остальных двух цифр

  • Итог: 48

• Вариант 3: last digit = 5

  • Аналогично: 4 варианта для первой, 12 для двух оставшихся цифр

  • Итог: 48

---

Общий итог для четырёхзначных нечётных чисел:

\[ 3 \text{ (последняя цифра)} \times 4 \text{ (первая)} \times 12 \text{ (вторая и третья)} = 3 \times 4 \times 12 = 144 \]

---

Итоговые ответы:

Задача	Количество чисел
1. Трёхзначных	48
2. Четырёхзначных	144

---

Если нужно более детально разобрать любой из пунктов, я готов помочь!