Величина максимальных касательных напряжений для заданного напряжённого состояния…

Давайте рассмотрим задачу. У нас изображена схема напряженного состояния с тремя видами напряжений: нормальное напряжение σ и касательное напряжение τ, которые приложены к кубу. В условии даны пять вариантов максимальных касательных напряжений (τ_max), и нам нужно определить, какое из них соответствует истинному значению для заданного состояния.

Чтобы найти максимальное касательное напряжение (τ_max), нужно воспользоваться формулой для предельных напряжений при сложных напряженных состояниях. Обычно, чтобы найти максимум касательного напряжения, используют формулу:

\[ \tau_{\text{max}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]

где:

• \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\) — principales нормальные напряжения,
• \(\tau_{xy}\) — касательное напряжение.

Анализ схемы

На данной схеме:

• Вдоль оси z приложено только нормальное напряжение \(\sigma\),
• Вдоль оси y — касательное напряжение \(\tau\),
• Вдоль оси x — нормальное напряжение \(\sigma\).

Из рисунка видно, что:

• Нормальное напряжение по осям x и z равно \(\sigma\),
• касательное напряжение \(\tau\) действует в плоскости yz.

При этом ориентиры можно принять так:

• \(\sigma_x = \sigma\),
• \(\sigma_y = \sigma\),
• \(\sigma_z = 0\) (так как на изображении только нагрузка вдоль оси z).

Поскольку в схеме показано касательное напряжение \(\tau\) на поверхности, то наиболее опасное (максимальное) касательное напряжение будет равно:

\[ \tau_{\text{max}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

где \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\) — наибольшие нормальные напряжения в данном состоянии.

Поскольку \(\sigma_x=\sigma_z=\sigma\), а \(\sigma_y=0\):

• Наиболее различающиеся нормальные напряжения — \(\sigma\) и 0.

Следовательно, формула упрощается:

\[ \tau_{\text{max}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma - 0}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

Из условия видно, что \(\tau = \sigma\) (см. варианты), и максимальное значение \(\tau_{\text{max}}\) зависит от конкретных вариантов.

Проверка вариантов

• Вариант 1: \(\tau_{\text{max}} = 0,75\sigma\),
• Вариант 2: \(\tau_{\text{max}} = 1,25\sigma\),
• Вариант 3: \(\tau_{\text{max}} = 1,12\sigma\),
• Вариант 4: \(\tau_{\text{max}} = 2,25\sigma\),
• Вариант 5: \(\tau_{\text{max}} = \sigma\).

Поскольку, по условию, касательное напряжение \(\tau = \sigma\) (или близко к нему), то, исходя из формулы:

\[ \tau_{\text{max}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \sigma^2} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{4} + \sigma^2} = \sqrt{\frac{5\sigma^2}{4}} = \frac{\sigma}{2} \sqrt{5} \approx 1.118\sigma. \]

Это соответствует примерно варианту 3: \(1.12\sigma\).

Итог

Ответ — вариант 3.

Правильный выбор: 3)

Если нужно, я могу пояснить каким образом выводились эти расчёты подробнее.