Для определения угла поворота поперечного сечения балки в точке A нам необходимо применить принципы механики деформируемых тел, в частности, формулу связи между изгибным моментом, жесткостью и углом поворота.
Обозначим:
- ( \theta_A ) — угол поворота поперечного сечения в точке А (в радианах, затем переведем в градусы),
- ( M ) — изгибающий момент в точке А,
- ( E ) — модуль упругости,
- ( I_x ) — момент инерции поперечного сечения относительно оси изгиба.
Шаг 1. Определение угла поворота через изгибный момент
При изгибе балки угол поворота в точке A связан с изгибающим моментом формулой:
[
\theta_A = \frac{M}{E I_x}
]
Это решение справедливо для условий, когда у нас модель балки, и в точке A действует изгибающий момент ( M ).
Шаг 2. Подставляние исходных данных
Дано:
- ( M = -1,6 P L ),
- ( P = 2 , \text{kN} ),
- ( L = 50 , \text{см} ),
- ( I_x = 198 , \text{см}^4 ),
- ( E = 209 , \text{ГПа} ).
Переведем все в стандартные единицы, чтобы правильно найти угол в радианах.
Переводы единиц:
- ( P = 2 , \text{kN} = 2000 , \text{Н} ),
- ( L = 50 , \text{см} = 0,5 , \text{м} ),
- ( I_x = 198 , \text{см}^4 = 198 \times 10^{-8} , \text{м}^4 ) (так как ( 1, \text{см}^4 = 10^{-8} , \text{м}^4 )),
- ( E = 209 , \text{ГПа} = 209 \times 10^9 , \text{Па} ).
Шаг 3. Расчет изгибающего момента
[
M = -1,6 \times P \times L = -1,6 \times 2000, \text{Н} \times 0,5, \text{м} = -1,6 \times 2000 \times 0,5 = -1600, \text{Н·м}
]
Шаг 4. Расчет угла поворота
Подставляем значения в формулу:
[
\theta_A = \frac{M}{E \times I_x} = \frac{-1600}{209 \times 10^9 \times 198 \times 10^{-8}}
]
В числителе — ( -1600 ), в знаменателе — ( 209 \times 10^9 \times 198 \times 10^{-8} ).
Посчитаем знаменатель:
[
209 \times 10^9 \times 198 \times 10^{-8} = 209 \times 198 \times 10^{9 - 8} = 209 \times 198 \times 10^{1}
]
Вычислим ( 209 \times 198 ):
[
209 \times 198 = (200 + 9) \times 198 = 200 \times 198 + 9 \times 198 = 39600 + 1782 = 41382
]
Теперь соединим все:
[
\text{Знаменатель} = 41382 \times 10^1 = 413820
]
Таким образом,
[
\theta_A = \frac{-1600}{413820} \approx -0.003865 , \text{рад}
]
Шаг 5. Перевод из радиан в градусы
1 радиан ≈ 57,2958 градусов.
[
\theta_A \approx -0.003865 \times 57,2958 \approx -0.2214^\circ
]
Итог:
- Положительный угол поворота — против часовой стрелки,
- Отрицательный — по часовой.
Значит, угол поворота в точке A примерно равен 0,221 градуса, при этом знак минус указывает, что угол поворота направлен по часовой стрелке.
Ответ:
[
\boxed{0.221^\circ}
]
Положительный угол — нет, так как у нас отрицательное значение, значит, в соответствии с условием, угол направлен против хода часов.
Итак, угол поворота поперечного сечения в точке A составляет примерно 0,221 градуса против часовой стрелки.
