Давайте пошагово решим задачу, чтобы понять, сколько литров раствора было во втором сосуде изначально.
Дано:
- В первом сосуде было 10 литров раствора с концентрацией 50%.
- Во втором сосуде было неизвестно, обозначим его объем как ( V_2 ) литров, с концентрацией 25%.
- Из первого сосуда перелили 2 литра раствора во второй.
- После перемешивания во втором сосуде из него перелили 2 литра раствора обратно в первый.
- В результате после всех операций концентрация в первом сосуде стала 46%.
Шаг 1: Определим объем раствора и содержание уксусной кислоты изначально.
В первом сосуде было:
[
10 \text{ л} \times 50% = 5 \text{ л укс. кислоты}
]
Во втором сосуде было: (\ V_2 ) литров, с концентрацией 25%, то есть содержание уксусной кислоты:
[
0.25 V_2
]
Шаг 2: Переливание 2 литров из первого сосуда во второй
В первом сосуде осталось:
[
10 - 2 = 8 \text{ л}
]
— с уксусной кислотой:
[
5 - (2 \times 50%) = 5 - 1 = 4 \text{ л}
]
В втором сосуде после добавления 2 л раствора из первого:
[
V_2 + 2 \text{ л}
]
Количество уксусной кислоты, добавленной из первого сосуда в который:
[
2 \times 50% = 1 \text{ л}
]
Общее содержание уксуса в втором сосуде после добавления:
[
0.25 V_2 + 1
]
Общий объем во втором сосуде:
[
V_2 + 2
]
Концентрация уксуса в втором сосуде после этой операции:
[
C_2^{\text{после}} = \frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2}
]
Шаг 3: Переливание 2 литров раствора из второго сосуда обратно в первый
В первом сосуде до этого: 8 л с 4 л уксуса.
Во втором сосуде: объем ( V_2 + 2 ) с концентрацией (\frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2}).
Из второго сосуда переливают 2 л раствора с содержанием укса:
[
\text{укс} в 2 л: \quad 2 \times C_2^{\text{после}} = 2 \times \frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2}
]
В первый сосуд после возвращения 2 л раствора из второго:
[
8 + 2 = 10 \text{ л}
]
Общее содержание уксуса в первом сосуде:
[
4 + 2 \times C_2^{\text{после}}
]
Концентрация в первом сосуде после всех манипуляций: 46%, то есть:
[
\frac{\text{Общие уксусные кислоты}}{\text{Общий объем}} = 0.46
]
Таким образом, уравнение:
[
\frac{4 + 2 \times \frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2}}{10} = 0.46
]
Шаг 4: Решение уравнения
Раскроем скобки и решим уравнение:
[
4 + 2 \times \frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2} = 10 \times 0.46 = 4.6
]
Перенесем 4 в левую часть:
[
2 \times \frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2} = 4.6 - 4 = 0.6
]
Разделим обе части на 2:
[
\frac{0.25 V_2 + 1}{V_2 + 2} = 0.3
]
Решим это уравнение:
[
0.25 V_2 + 1 = 0.3 (V_2 + 2) = 0.3 V_2 + 0.6
]
Перенесем все в левую часть:
[
0.25 V_2 + 1 - 0.3 V_2 - 0.6 = 0
]
[
(0.25 V_2 - 0.3 V_2) + (1 - 0.6) = 0
]
[
-0.05 V_2 + 0.4 = 0
]
[
-0.05 V_2 = -0.4
]
[
V_2 = \frac{-0.4}{-0.05} = 8
]
Ответ:
Во втором сосуде изначально было 8 литров.
Если нужно, я могу помочь и с подсчетами, и с объяснением, но по условию задача решена.
