Дано комплексное уравнение:
(1 + 2i)·x + (3 + 5i)·y = 1 - 3i
Нужно найти вещественные числа x и y, удовлетворяющие этому уравнению.
Шаг 1. Представление комплекса в виде уравнения с вещественными и мнимыми частями
Комплексные уравнения равны, если равны их вещественные части и мнимые части.
Пусть x и y — вещественные числа. Тогда:
[
(1 + 2i) x + (3 + 5i) y = 1 - 3i
]
Раскроем скобки:
[
(1 \cdot x + 2i \cdot x) + (3 \cdot y + 5i \cdot y) = 1 - 3i
]
Объединим в реальную и мнимую части:
- Вещественная часть: ( x + 3 y )
- Мнимая часть: ( 2x + 5 y )
Следовательно:
[
\text{Вещественная часть: } x + 3 y
]
[
\text{Мнимая часть: } 2 x + 5 y
]
Уравнение равно (1 - 3i), то есть:
[
x + 3 y = 1
]
[
2 x + 5 y = -3
]
Шаг 2. Решение системы уравнений
Теперь у нас система:
[
\begin{cases}
x + 3 y = 1 \quad (1) \
2 x + 5 y = -3 \quad (2)
\end{cases}
]
Рассмотрим систему и решим ее:
Из первого уравнения выразим (x):
[
x = 1 - 3 y
]
Подставим в уравнение (2):
[
2(1 - 3 y) + 5 y = -3
]
[
2 - 6 y + 5 y = -3
]
[
2 - y = -3
]
Выразим (y):
[
-y = -3 - 2
]
[
-y = -5
]
[
y = 5
]
Теперь найдём (x):
[
x = 1 - 3 \cdot 5 = 1 - 15 = -14
]
Ответ:
[
\boxed{
x = -14, \quad y = 5
}
]
Это вещественные числа, удовлетворяющие исходному комплексному уравнению.
