Найти вещественные числа, удовлетворяющие уравнению: (1+2i)x + (3+5i)y = 1-3i
Дано комплексное уравнение:
(1 + 2i)·x + (3 + 5i)·y = 1 - 3i
Нужно найти вещественные числа x и y, удовлетворяющие этому уравнению.
Шаг 1. Представление комплекса в виде уравнения с вещественными и мнимыми частями
Комплексные уравнения равны, если равны их вещественные части и мнимые части.
Пусть x и y — вещественные числа. Тогда:
\[ (1 + 2i) x + (3 + 5i) y = 1 - 3i \]
Раскроем скобки:
\[ (1 \cdot x + 2i \cdot x) + (3 \cdot y + 5i \cdot y) = 1 - 3i \]
Объединим в реальную и мнимую части:
- Вещественная часть: \( x + 3 y \)
- Мнимая часть: \( 2x + 5 y \)
Следовательно:
\[ \text{Вещественная часть: } x + 3 y \] \[ \text{Мнимая часть: } 2 x + 5 y \]
Уравнение равно \(1 - 3i\), то есть:
\[ x + 3 y = 1 \] \[ 2 x + 5 y = -3 \]
Шаг 2. Решение системы уравнений
Теперь у нас система:
\[ \begin{cases} x + 3 y = 1 \quad (1) \\ 2 x + 5 y = -3 \quad (2) \end{cases} \]
Рассмотрим систему и решим ее:
Из первого уравнения выразим \(x\):
\[ x = 1 - 3 y \]
Подставим в уравнение (2):
\[ 2(1 - 3 y) + 5 y = -3 \] \[ 2 - 6 y + 5 y = -3 \] \[ 2 - y = -3 \]
Выразим \(y\):
\[ -y = -3 - 2 \] \[ -y = -5 \] \[ y = 5 \]
Теперь найдём \(x\):
\[ x = 1 - 3 \cdot 5 = 1 - 15 = -14 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = -14, \quad y = 5 } \]
Это вещественные числа, удовлетворяющие исходному комплексному уравнению.
