Один із зовнішних кутів трикутника дорівнює 117°. Знайдіть внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо вони відносяться як 7:2 26° i 91° 13° 1 91° 63º і 37° 260 i 63°
Розв’язання задачі.
Дано: один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 117°. Нам потрібно знайти два внутрішні кути, які не є суміжними з цим зовнішнім кутом, і при цьому їхні значення відносяться як 7:2.
Звернімося до властивостей трикутника і зовнішніх кутів:
Внутрішні кути трикутника позначимо як α, β і γ.
Зовнішній кут, наприклад, з вершини A, дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, які не мають цю вершину, тобто:
\( \text{Зовнішній кут} = 180° - \text{суміжний внутрішній кут} \)
Або компактніше, зовнішній кут = сума двох внутрішніх, не суміжних із ним.
Задача говорить, що один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 117°. Це означає, що він є зовнішнім кутом до одного з внутрішніх кутів.
Розглянемо, що трикутник має внутрішні кути α, β, γ, а зовнішній кут до, скажімо, α — це 117°, і він дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних із ним, тобто:
\[ \text{Зовнішній} = \text{інший внутрішній} + \text{ще один внутрішній} \]
Але оскільки зовнішній кут дорівнює 117°, то внутрішній, до якого він є зовнішнім, і його напроти нього — це та частина, яку потрібно знайти.
Пройдемо крок за кроком:
- Властивість зовнішнього кута трикутника:
Зовнішній кут = сума протилежних внутрішніх кутів.
Отже, якщо зовнішній кут дорівнює 117°, то він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним. Тобто, якщо зовнішній кут прилягати до внутрішнього кута α, то:
\[ \text{Зовнішній} = β + γ \]
(якщо зовнішній кут — до кута α) або аналогічно для інших.
- У трикутнику сума внутрішніх кутів:
\[ α + β + γ = 180° \]
- Враховуючи, що зовнішній кут дорівнює 117°, і він є сумою двох внутрішніх:
\[ β + γ = 117° \]
Отже,
\[ α = 180° - (β + γ) = 180° - 117° = 63° \]
Тобто, внутрішній кут, до якого зовнішній кут є приляглим, дорівнює 63°.
- З умови також потрібно знайти два внутрішні кути, не суміжні з цим зовнішнім кутом, і їхні значення відносяться як 7:2.
Ми вже знаємо, що один із внутрішніх кутів — 63°, і він суміжний із зовнішнім кутом. Тому, залишилися два внутрішні кути — це β і γ.
Враховуючи, що:
\[ β + γ = 117° \]
і потрібно, щоб їхні значення були у співвідношенні 7:2.
Запишемо:
\[ β = 7x \] \[ γ = 2x \]
Тоді:
\[ 7x + 2x = 117° \] \[ 9x = 117° \] \[ x = 13° \]
Отже,
\[ β = 7 \times 13° = 91° \] \[ γ = 2 \times 13° = 26° \]
Перевіримо суму внутрішніх кутів:
\[ 63° + 91° + 26° = 180° \]
Все коректно.
Отже, внутрішні кути, що не суміжні з зовнішнім 117°, мають значення:
91° і 26°.
Вірний варіант відповіді:
26° і 91°
Відповідь: 26° і 91°.
