Один із зовнішних кутів трикутника дорівнює 117°. Знайдіть внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо вони відносяться як 7:2 26° i 91° 13° 1 91° 63º і 37° 260 i 63°

Розв’язання задачі. Дано: один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 117°. Нам потрібно знайти два внутрішні кути, які не є суміжними з цим зовнішнім кутом, і при цьому їхні значення відносяться як 7:2. Звернімося до властивостей трикутника і зовнішніх кутів: - Внутрішні кути трикутника позначимо як α, β і γ. - Зовнішній кут, наприклад, з вершини A, дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, які не мають цю вершину, тобто: \( \text{Зовнішній кут} = 180° - \text{суміжний внутрішній кут} \) - Або компактніше, зовнішній кут = сума двох внутрішніх, не суміжних із ним. Задача говорить, що один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 117°. Це означає, що він є зовнішнім кутом до одного з внутрішніх кутів. Розглянемо, що трикутник має внутрішні кути α, β, γ, а зовнішній кут до, скажімо, α — це 117°, і він дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних із ним, тобто: \[ \text{Зовнішній} = \text{інший внутрішній} + \text{ще один внутрішній} \] Але оскільки зовнішній кут дорівнює 117°, то внутрішній, до якого він є зовнішнім, і його напроти нього — це та частина, яку потрібно знайти. Пройдемо крок за кроком: 1) Властивість зовнішнього кута трикутника: Зовнішній кут = сума протилежних внутрішніх кутів. Отже, якщо зовнішній кут дорівнює 117°, то він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним. Тобто, якщо зовнішній кут прилягати до внутрішнього кута α, то: \[ \text{Зовнішній} = β + γ \] (якщо зовнішній кут — до кута α) або аналогічно для інших. 2) У трикутнику сума внутрішніх кутів: \[ α + β + γ = 180° \] 3) Враховуючи, що зовнішній кут дорівнює 117°, і він є сумою двох внутрішніх: \[ β + γ = 117° \] Отже, \[ α = 180° - (β + γ) = 180° - 117° = 63° \] Тобто, внутрішній кут, до якого зовнішній кут є приляглим, дорівнює 63°. 4) З умови також потрібно знайти два внутрішні кути, не суміжні з цим зовнішнім кутом, і їхні значення відносяться як 7:2. Ми вже знаємо, що один із внутрішніх кутів — 63°, і він суміжний із зовнішнім кутом. Тому, залишилися два внутрішні кути — це β і γ. Враховуючи, що: \[ β + γ = 117° \] і потрібно, щоб їхні значення були у співвідношенні 7:2. Запишемо: \[ β = 7x \] \[ γ = 2x \] Тоді: \[ 7x + 2x = 117° \] \[ 9x = 117° \] \[ x = 13° \] Отже, \[ β = 7 \times 13° = 91° \] \[ γ = 2 \times 13° = 26° \] Перевіримо суму внутрішніх кутів: \[ 63° + 91° + 26° = 180° \] Все коректно. Отже, внутрішні кути, що не суміжні з зовнішнім 117°, мають значення: **91° і 26°**. Вірний варіант відповіді: **26° і 91°** --- **Відповідь:** 26° і 91°.