Построить график у=х3-3х2+4

Конечно! Сейчас я подробно объясню, как построить график функции \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \). --- ### Шаг 1: Анализ функции Это кубическая функция: \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \). Она состоит из: - Кубической части \( x^3 \), которая при больших \( x \) стремится к бесконечности или минус бесконечности. - Квадратичной части \( -3x^2 \), которая влияет на форму графика. - Постоянной — \( +4 \), что сдвигает график вверх на 4 по оси \( y \). --- ### Шаг 2: Находим критические точки (точки экстремума) Чтобы понять, где график возрастает или убывает, найдем первую производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x. \] Факторизуем: \[ y' = 3x(x - 2). \] Критические точки получаются при \( y' = 0 \): \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2. \] --- ### Шаг 3: Исследуем поведение функции - Для этого возьмем значения \( y' \) в интервалах: - \( x < 0 \): например, \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 3 \times (-1) \times (-1 - 2) = 3 \times (-1) \times (-3) = 9 > 0, \] значит, функция возрастает в области \( x < 0 \). - \( 0 < x < 2 \): например, \( x=1 \): \[ y'(1) = 3 \times 1 \times (1-2) = 3 \times 1 \times (-1) = -3 < 0, \] значит, функция убывает на промежутке \( (0, 2) \). - \( x > 2 \): например, \( x=3 \): \[ y'(3) = 3 \times 3 \times (3-2) = 3 \times 3 \times 1 = 9 > 0, \] функция возрастает на \( (2, +\infty) \). **Вывод:** - График возрастает для \( x < 0 \), - убывает для \( 0 < x < 2 \), - снова возрастает для \( x > 2 \). --- ### Шаг 4: Находим значения функции в критических точках Подставим \( x=0 \) и \( x=2 \): - \( x=0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3 \times 0^2 + 4 = 4. \] - \( x=2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. \] Значит, у нас есть точки: - \( (0, 4) \), - \( (2, 0) \). --- ### Шаг 5: Находим второй производной, чтобы определить тип критических точек Вторая производная: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. \] - В точке \( x=0 \): \[ y''(0) = 6 \times 0 - 6 = -6 < 0, \] значит, в точке \( (0, 4) \) — максимум. - В точке \( x=2 \): \[ y''(2) = 6 \times 2 - 6 = 12 - 6 = 6 > 0, \] значит, в точке \( (2, 0) \) — минимум. --- ### Шаг 6: Таблица значений Подставим несколько значений \( x \), например: | \( x \) | \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) | |---------|-------------------------| | -1 | \( (-1)^3 - 3 \times (-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 \) | | 0 | 4 (уже посчитано) | | 1 | \( 1 - 3 + 4 = 2 \) | | 2 | 0 (уже посчитано) | | 3 | \( 27 - 27 + 4 = 4 \) | --- ### Шаг 7: Построение графика 1. **Отметьте точки:** - \( (-1, 0) \), - \( (0, 4) \), - \( (1, 2) \), - \( (2, 0) \), - \( (3, 4) \). 2. **Проведите гладкую кривую**, которая идет: - Восходящая при \( x < 0 \), - достигнув максимум в \( (0, 4) \), - убывает через \( (1, 2) \) и \( (2, 0) \), - затем снова возрастает после \( x=2 \). 3. Учтите асимптоты кубической функции: график фрагментами идет вверх и вниз без ограничений. --- ### Итог Вы можете построить график, отобразив отмеченные точки и отметив области возрастания и убывания. Если нужно — я могу помочь вам с более точным построением курсорной или графической схемы! --- Если есть еще вопросы — обращайтесь!