Решите уравнение: 𝑥 − √𝑥 + 4 − 2 = 0.
Давайте решим уравнение:
\[x - \sqrt{x + 4} - 2 = 0\]
Шаг 1. Обозначим \(\sqrt{x + 4} = y\). Тогда получим:
\[
x = y^2 - 4
\]
Шаг 2. Подставим выражение для \(x\) в исходное уравнение:
\[
(y^2 - 4) - y - 2 = 0
\]
Раскроем скобки:
\[
y^2 - 4 - y - 2 = 0
\]
Упростим:
\[
y^2 - y - 6 = 0
\]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение по переменной \(y\):
\[
y^2 - y - 6 = 0
\]
Используем дискриминант:
\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\]
Корни:
\[
y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}
\]
Вычислим оба:
\[
y_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]
\[
y_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\]
Шаг 4. Вернемся к исходным переменным.
- Для \(y = 3\):
\[ x = y^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \]
Проверим, удовлетворяет ли это исходному уравнению: \[ x - \sqrt{x + 4} - 2 = 0 \] Подставим \(x=5\):
\[ 5 - \sqrt{5 + 4} - 2 = 5 - \sqrt{9} - 2 = 5 - 3 - 2 = 0 \] Да, это решение подходит.
- Для \(y = -2\): \[ x = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \]
Проверим: \[ 0 - \sqrt{0 + 4} - 2 = 0 - 2 - 2 = -4 \neq 0 \] Значит, это решение не подходит, потому что при подстановке в исходное уравнение оно не выполняется.
Ответ:
Единственное решение уравнения — \(x=5\).
