Давайте решим уравнение:
[x - \sqrt{x + 4} - 2 = 0]
Шаг 1. Обозначим (\sqrt{x + 4} = y). Тогда получим:
[
x = y^2 - 4
]
Шаг 2. Подставим выражение для (x) в исходное уравнение:
[
(y^2 - 4) - y - 2 = 0
]
Раскроем скобки:
[
y^2 - 4 - y - 2 = 0
]
Упростим:
[
y^2 - y - 6 = 0
]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение по переменной (y):
[
y^2 - y - 6 = 0
]
Используем дискриминант:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
]
Корни:
[
y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}
]
Вычислим оба:
[
y_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
[
y_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2
]
Шаг 4. Вернемся к исходным переменным.
- Для (y = 3):
[
x = y^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5
]
Проверим, удовлетворяет ли это исходному уравнению:
[
x - \sqrt{x + 4} - 2 = 0
]
Подставим (x=5):
[
5 - \sqrt{5 + 4} - 2 = 5 - \sqrt{9} - 2 = 5 - 3 - 2 = 0
]
Да, это решение подходит.
- Для (y = -2):
[
x = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0
]
Проверим:
[
0 - \sqrt{0 + 4} - 2 = 0 - 2 - 2 = -4 \neq 0
]
Значит, это решение не подходит, потому что при подстановке в исходное уравнение оно не выполняется.
Ответ:
Единственное решение уравнения — (x=5).
