Решите неравенство: √𝑥 2 + 𝑥 > 2𝑥 − 1.

Давайте решим неравенство: \(\sqrt{x^2 + x} > 2x - 1\) Шаг 1. Определим область допустимых значений. - В выражении \(\sqrt{x^2 + x}\) под корнем должно быть неотрицательно: \(x^2 + x \geq 0\) Раскроем скобки: \(x(x + 1) \geq 0\) Решим неравенство: \(x(x + 1) \geq 0\) Р zeros этого выражения: \(x = 0\) и \(x = -1\). Анализ по числовым отрезкам: - Для \(x < -1\): обе множители отрицательны, произведение положительно → выполнено - Для \(-1 < x < 0\): один множитель отрицателен, другой положителен → произведение отрицательно → не подходит - Для \(x > 0\): оба множителя положительны → произведение положительно → выполнено Область: \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 0 \] Шаг 2. Решим неравенство: \(\sqrt{x^2 + x} > 2x - 1\) Обратите внимание: - Левая часть \(\sqrt{x^2 + x}\) всегда неотрицательна. - Правая часть — линейная: \(2x - 1\). Значит, чтобы сравнивать, нужно помнить, что \(\sqrt{x^2 + x} \ge 0\). Для решения неравенства сузим область, потому что при \(x\) из области допустимых значений Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части. --- **Случай 1: \(2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.5\)** Значит, при \(x \ge 0.5\), правая часть \(\geq 0\). В этом случае неравенство: \(\sqrt{x^2 + x} > 2x - 1\) Обе стороны неотрицательны, и можно возвести в квадрат без изменений знака, подробнее: \[ \sqrt{x^2 + x} > 2x - 1 \] \[ \Rightarrow (\sqrt{x^2 + x})^2 > (2x - 1)^2 \] \[ x^2 + x > 4x^2 - 4x + 1 \] Переносим все в левую сторону: \[ x^2 + x - 4x^2 + 4x - 1 > 0 \] \[ (-3x^2) + 5x - 1 > 0 \] Это квадратное неравенство: \[ -3x^2 + 5x - 1 > 0 \] или \[ 3x^2 - 5x + 1 < 0 \] Решим уравнение: \[ 3x^2 - 5x + 1 = 0 \] Дискриминант: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 25 - 12 = 13 \] Корни: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} \] Поскольку коэффициент перед \(x^2\) положителен у уравнения \(3x^2 - 5x + 1\), неравенство \(< 0\) выполняется между корнями. Значит, решение: \[ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{13}}{6} , \frac{5 + \sqrt{13}}{6} \right) \] Но так как мы рассматривали случай, когда \(x \ge 0.5\), нужно проверить пересечение. Проверим числовое приближение: \[ \sqrt{13} \approx 3.606 \] \[ x_1 = \frac{5 - 3.606}{6} \approx \frac{1.394}{6} \approx 0.232 \] \[ x_2 = \frac{5 + 3.606}{6} \approx \frac{8.606}{6} \approx 1.434 \] Итак, решение через этот случай: \[ x \in [0.5, \infty) \cap \left(0.232, 1.434\right) = [0.5, 1.434) \] Поскольку цель — \(x \geq 0.5\), а внутренняя часть — от \(\sim 0.232\) до \(\sim 1.434\), то пересечение: \[ x \in [0.5, 1.434) \] Проверим, что в области допустимых \(x \geq 0.5\) это допустимо. --- **Случай 2: \(2x - 1 < 0 \Rightarrow x < 0.5\)** Тогда правая сторона отрицательна или близка к нему. В этом случае, поскольку \(\sqrt{x^2 + x} \ge 0\), а правая — отрицательна, то: \[ \sqrt{x^2 + x} > 2x - 1 \] будет верно всегда при \(x < 0.5\), потому что: \[ \text{левая } \ge 0,\quad \text{правая } < 0 \] следовательно, неравенство выполняется для всех \(x\) из области допустимых при \(x < 0.5\): Область допустимых: \(x \leq -1\) или \(x \geq 0\) - для \(x \leq -1\), так как \(x < 0.5\)\ — подходит, условие выполняется - для \(x \ge 0\) и \(x<0.5\) — тоже подходит Итак, итогово: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [0, 0.5) \] и на интервале \([0.5, \infty)\), решение: \(x \in [0.5, 1.434)\) --- **Общий ответ:** Объединим все части: \[ \boxed{ x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1.434) } \] или точнее, с учетом точного выражения: \[ x \in (-\infty, -1] \cup \left[0, \frac{5 + \sqrt{13}}{6}\right) \] Также убедимся, что в области, где \(\sqrt{x^2 + x}\) определено, не возникает противоречий. Там — \(x \leq -1\) и \(x \ge 0\), что совпадает с решением. **Ответ:** \[ \boxed{ x \leq -1 \quad \text{или} \quad 0 \leq x < \frac{5 + \sqrt{13}}{6} } \] --- Если нужно — я могу помочь с более точными проверками или графиком.