Решите уравнение: 6 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0.

Давайте решим уравнение:
\[ 6 + 2 \sin^2 x - 6 \cos^2 x = 0 \]

Шаг 1. Используем тригонометрическую тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
Из этого следует: \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\).

Шаг 2. Подставим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) в исходное уравнение:

\[ 6 + 2 (1 - \cos^2 x) - 6 \cos^2 x = 0 \]

Шаг 3. Раскроем скобки:

\[ 6 + 2 - 2 \cos^2 x - 6 \cos^2 x = 0 \]

Объединим подобные:

\[ (6 + 2) - (2 \cos^2 x + 6 \cos^2 x) = 0 \]

\[ 8 - 8 \cos^2 x = 0 \]

Шаг 4. Перенесем все в одну сторону:

\[ 8 - 8 \cos^2 x = 0 \]

\[ 8 = 8 \cos^2 x \]

Шаг 5. Разделим обе части уравнения на 8:

\[ \cos^2 x = 1 \]

Шаг 6. Решим простое равенство:

\[ \cos^2 x = 1 \]

\[ \cos x = \pm 1 \]

Шаг 7. Найдём значения \(x\):

• \(\cos x = 1\) при:

\[ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• \(\cos x = -1\) при:

\[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

\[ x = 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это все решения уравнения на всей числовой оси.