До площини прямокутника АВСD, сторони якого 9 см і 20 см, проведено перпендикуляр SD, SD = 12 см. Знайдіть відстань від точки 5 до сторін прямокутника.

Давайте разберемся с данной задачей пошагово и подробно. **Дано:** - Прямокутник \( ABCD \) зі сторонами: - \( AB = DC = 20\, \text{см} \) - \( AD = BC = 9\, \text{см} \) - До площини цього прямокутника проведено перпендикуляр \( SD \), де: - \( S \) — точка, розташована над стороною \( AD \) - \( D \) — одна з вершин прямокутника - Відстань від \( S \) до площини прямокутника: \( SD = 12\, \text{см} \) Задача: **знайти відстань від точки \( S \) до сторін прямокутника.** --- ### Аналіз задачі З умовою ми маємо точку \( S \), яка знаходиться у просторі над прямокутником, і перпендикуляр \( SD \), який опущено зі точки \( S \) до вершини \( D \). Задача запитує відстань від \( S \) до сторін \( ABCD \). Це означає, що потрібно знайти мінімальну відстань від точки \( S \) до будь-якої з чотирьох сторін прямокутника. --- ### Обчислення та пояснення 1. **Місце знаходження точки \( S \)** - Відомо, що \( S \) розташована так, що \( SD \perp \) до площини \( ABCD \), і відстань від \( S \) до площини — 12 см. - Тобто, \( S \) знаходиться на висоті 12 см над плоскостю прямокутника. 2. **Координатна модель** Щоб спростити обчислення, виберемо систему координат: - \( D \) — точка з координатами \( (0, 0, 0) \). - \( \( A \) \) розташовано далі по осі \( x \): - \( \( A \) \) — \( (20, 0, 0) \) (оскільки сторону \( AB \) — 20 см) - \( \( D \) \) — \( (0, 9, 0) \) - \( \( B \) \) — \( (20, 9, 0) \) Враховуючи це, точка \( D \) має координати \( (0, 0, 0) \), а інші вершини — так: \[ A = (20, 0, 0), \quad B = (20, 9, 0), \quad C = (0, 9, 0) \] 3. **Розташування точки \( S \):** - Вона знаходиться над \( D \) на висоті 12 см, тобто: \[ S = (x_s, y_s, 12) \] - Так як \( SD \) — перпендикуляр до площини, то \( S \) знаходиться прямо над \( D \). - Отже, координати \( S \): \[ S = (0, 0, 12) \] 4. **Відстань від \( S \) до сторін** Тепер потрібно знайти мінімальну відстань від \( S \) до будь-якої з сторін. - Сторони: - \( AB \): від \( (20, 0, 0) \) до \( (20, 9, 0) \) - \( BC \): від \( (20, 9, 0) \) до \( (0, 9, 0) \) - \( CD \): від \( (0, 9, 0) \) до \( (0, 0, 0) \) - \( DA \): від \( (0, 0, 0) \) до \( (20, 0, 0) \) Визначимо відстань від точки \( S(0,0,12) \) до кожної сторони. --- ### Обчислення відстані від \( S \) до кожної сторони Це зводиться до задачі знаходження відстані від точки до прямої. **Для сторін у площині \( xy \), \( z=0 \), та точкою над нею \( (0,0,12) \):** --- ### 1. Відстань від \( S \) до сторони \( CD \) (від \( (0,0,0) \) до \( (0,9,0) \)) - Ця сторона йде вздовж вісі \( y \) у площині \( xy \), де \( x=0 \). - Відстань від точки з координатами \( (0, 0, 12) \) до її проекції на \( CD \), яка знаходиться у площині \( z=0 \): - Так як \( x=0 \), то відстань — це перпендикуляр від точки до прямої \( y \)-вісі у площині \( xy \) - Відстань: \[ \text{відстань} = \sqrt{(x_s - x_{прямої})^2 + (y_s - y_{прямої})^2 + (z_s - 0)^2} \] - Оскільки \( x=0 \) і точка \( (0,0,12) \), і \( y \) — у проміжку від 0 до 9, то мінімальна відстань — це відстань по висоті \( z=12 \), тобто: \[ \boxed{12\, \text{см}} \] --- ### 2. Відстань від \( S \) до сторони \( DA \) (від \( (0,0,0) \) до \( (20,0,0) \)) - Це сторона по осі \( x \), у площині \( y=0 \). - Точка \( S = (0,0,12) \), проєктується на цю сторону у точку \( (x,0,0) \), де \( x \) — будь-яке у проміжку від 0 до 20. - Мінімальна відстань — перпендикуляр: \[ \text{відстань} = \sqrt{(x_s - x)^2 + (y_s - 0)^2 + (z_s - 0)^2} \] - Мінімізуємо цю відстань: найкоротша відстань від точки до відрізка — це відстань перпендикуляра, якщо проєкт попадає у відрізок. Тут, оскільки \( x_s=0 \), \( y_s=0 \), то: - Проєкт у точку \( (0,0,0) \), тобто перпендикуляр від \( (0,0,12) \) до \( (x,0,0) \) — перпендикуляр до \( x \)-вісі, що має довжину: \[ \boxed{12\, \text{см}} \] --- ### 3. Відстань від \( S \) до сторони \( BC \) (від \( (20,0,0) \) до \( (20,9,0) \)) - Аналогічно до першого випадку, ця і сторона по \( y \), у площині \( x=20 \). - Проєкт точки перпендикулярно на цю сторону — у точку \( (20, y, 0) \): \[ \text{відстань} = \sqrt{(x_s -20)^2 + ( y_s - y)^2 + z_s^2} \] - Враховуючи, що \( x_s=0 \), \( y_s=0 \), то потрібно знайти, щоб мінімізувати: \[ \sqrt{(0 - 20)^2 + (0 - y)^2 + 12^2} \] - Найкоротша відстань — при \( y=0 \), тоді: \[ \sqrt{(20)^2 + 0 + 144} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} \approx 23.3\, \text{см} \] Але оскільки сторона — від \( (20,0) \) до \( (20,9) \), ймовірно, найкоротше — при проєкції на цю сторону — знаходиться у точці \( (20,0,0) \). Відповідно, відстань: \[ \sqrt{(0-20)^2 + (0-0)^2 + 12^2} = \sqrt{400+0+144} = \sqrt{544} \approx 23.3\, \text{см} \] --- ### 4. Відстань від \( S \) до сторони \( AB \) — так само близько 12 см. --- ### **Підсумок** Мінімальна відстань від \( S \) до будь-якої сторони — це **12 см**, оскільки: - До сторони \( CD \) і \( DA \) — точно 12 см. - До інших сторін — більше 12 см. --- ## **Відповідь:** **Мінімальна відстань від точки \( S \) до сторін прямокутника — 12 см.**