Реши
Конечно! В данной задаче нужно упростить выражение:
\[
\sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49} + \sqrt[8]{9} \cdot \sqrt[27]{\frac{3}{7}} - \left( \sqrt[5]{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6}{7}} \right) : \sqrt[28]{\frac{3}{28}}
\]
Разберём каждую часть отдельно.
1. Первая часть: \(\sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49}\)
Преобразуем корни в степени: \[ 49^{1/6} \times 49^{1/3} \]
Запишем 49 как степень двойки: \[ 49 = 7^2 \]
Тогда: \[ 7^{2/6} \times 7^{2/3} \]
Упростим показатели степеней: \[ 7^{1/3} \times 7^{2/3} = 7^{1/3 + 2/3} = 7^{3/3} = 7^{1} = 7 \]
2. Вторая часть: \(\sqrt[8]{9} \cdot \sqrt[27]{\frac{3}{7}}\)
- Переведём в степени: \[ 9^{1/8} \times \left( \frac{3}{7} \right)^{1/27} \]
- \(9 = 3^2\), значит: \[ (3^2)^{1/8} = 3^{2/8} = 3^{1/4} \]
- Итак, вторая часть: \[ 3^{1/4} \times \left( \frac{3}{7} \right)^{1/27} \]
- Раскроем скобки во второй части: \[ 3^{1/4} \times 3^{1/27} \div 7^{1/27} \]
- Объединим степени с одинаковым основанием: \[ 3^{1/4 + 1/27} \div 7^{1/27} \]
Найдем сумму степеней для \(3\):
- Приведем к общему знаменателю 108: \[ 1/4 = 27/108, \quad 1/27 = 4/108 \]
- Тогда: \[ 3^{(27/108 + 4/108)} = 3^{31/108} \]
И итог: \[ \frac{3^{31/108}}{7^{1/27}} \]
3. Третья часть: \( \left( \sqrt[5]{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6}{7}} \right) : \sqrt[28]{\frac{3}{28}} \)
Переведем в степени: \[ \left( \left( \frac{1}{7} \right)^{1/5} - \left( \frac{6}{7} \right)^{1/3} \right) : \left( \frac{3}{28} \right)^{1/28} \]
Перенесём деление в умножение:
\[ \left( \left( \frac{1}{7} \right)^{1/5} - \left( \frac{6}{7} \right)^{1/3} \right) \times \left( \frac{28}{3} \right)^{1/28} \]В процессе деления мы используем свойство:
\[ a^{m} / a^{n} = a^{m - n} \]
Но, поскольку выражение внутри скобок вычитается, то итоговое решение можно упростить, если определить отдельно каждое выражение.
Итоговая сумма:
Объединяем полученные результаты:
\[ 7 + \frac{3^{31/108}}{7^{1/27}} - \left[ \left( \frac{1}{7} \right)^{1/5} - \left( \frac{6}{7} \right)^{1/3} \right] \times \left( \frac{28}{3} \right)^{1/28} \]
Это окончательный разбор. Если нужно, могу привести пример приближенного числового значения или более упрощенное выражение.
Если хотите, я могу помочь с конкретным числовым значением или дальнейшей упрощённой формой!
