Реши
Давайте разберёмся с этим выражением пошагово.
Исходное выражение:
\[ \sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49} + \sqrt[8]{9} \cdot \sqrt[27]{27} - \left( \sqrt[5]{7} - \frac{3}{7} \right) \div \sqrt[28]{3} \]
Шаг 1: Преобразование корней в показатели степени
Напомним, что:
\[ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \]
Поэтому:
- \(\sqrt[6]{49} = 49^{\frac{1}{6}}\)
- \(\sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}\)
- \(\sqrt[8]{9} = 9^{\frac{1}{8}}\)
- \(\sqrt[27]{27} = 27^{\frac{1}{27}}\)
- \(\sqrt[5]{7} = 7^{\frac{1}{5}}\)
- \(\sqrt[28]{3} = 3^{\frac{1}{28}}\)
Шаг 2: Замены в выражении
Подставим обратно:
\[ 49^{\frac{1}{6}} \cdot 49^{\frac{1}{3}} + 9^{\frac{1}{8}} \cdot 27^{\frac{1}{27}} - \left(7^{\frac{1}{5}} - \frac{3}{7}\right) \div 3^{\frac{1}{28}} \]
Шаг 3: Объединение степеней с одинаковым основанием
Обратим внимание, что \(49 = 7^2\), а \(49^{\frac{1}{6}} = (7^2)^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{2}{6}} = 7^{\frac{1}{3}}\)
Также, \(49^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}\).
Перемножим:
\[ 7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 7^{1} = 7 \]
Первое слагаемое равно 7.
Шаг 4: Обработка второго произведения
\[ 9^{\frac{1}{8}} \times 27^{\frac{1}{27}} \]
\(9 = 3^2 \Rightarrow 9^{\frac{1}{8}} = (3^2)^{\frac{1}{8}} = 3^{\frac{2}{8}} = 3^{\frac{1}{4}}\)
\(27 = 3^3 \Rightarrow 27^{\frac{1}{27}} = (3^3)^{\frac{1}{27}} = 3^{\frac{3}{27}} = 3^{\frac{1}{9}}\)
Перемножим:
\[ 3^{\frac{1}{4}} \times 3^{\frac{1}{9}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = 3^{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} = 3^{\frac{13}{36}} \]
Это выражение оставить как есть, так как оно не упрощается.
Шаг 5: Обработка третий части
\[ \left(7^{\frac{1}{5}} - \frac{3}{7}\right) \div 3^{\frac{1}{28}} \]
Рассмотрим отдельно:
- \(7^{\frac{1}{5}}\) — это корень пятой степени из 7.
- \(\frac{3}{7}\) — число, не связанное с экспоненциальной формой, оставим как есть.
Деление на \(3^{\frac{1}{28}}\) — это умножение на обратное число:
\[ \left(7^{\frac{1}{5}} - \frac{3}{7}\right) \times 3^{-\frac{1}{28}} \]
Итоговое выражение:
\[ 7 + 3^{\frac{13}{36}} - \left(7^{\frac{1}{5}} - \frac{3}{7}\right) \times 3^{-\frac{1}{28}} \]
Финальный ответ:
Ответ:
\[ 7 + 3^{\frac{13}{36}} - \left(7^{\frac{1}{5}} - \frac{3}{7}\right) \times 3^{-\frac{1}{28}} \]
Это выражение — наиболее упрощённое в аналитической форме.
Если нужно, можно оставить именно так или дать численный пример.
