исследуйте функцию y=-x^3+3x^2 постройте ее график (область определения,область значений,четность,нечетность,точки пересечения с осями координат,промежутки…
Исследуйте функцию y=-x^3+3x^2 постройте ее график (область определения,область значений,четность,нечетность,точки пересечения с осями координат,промежутки знакопостоянства,промежутки монотонности,экстремумы функции)
Давайте подробно проанализируем функцию \( y = -x^3 + 3x^2 \). Я сделаю пошаговое исследование, которое поможет понять её график и свойства.
1. Область определения
Кубботная функция определена для всех значений \( x \): \[ \boxed{ \text{Область определения}:\quad \mathbb{R} } \] то есть, для всех реальных чисел.
2. Область значений
Чтобы найти область значений, посмотрим на поведение функции на бесконечности.
При \( x \to +\infty \): \[ y = -x^3 + 3x^2 \sim -x^3 \to -\infty \]
При \( x \to -\infty \): \[ y \sim -x^3 \to +\infty \]
То есть, значение функции \( y \) может принимать любые числа — область значений: \[ \boxed{ \text{Область значений}:\quad (-\infty, +\infty) } \]
3. Четность или нечетность функции
Проверим, является ли функция четной или нечетной:
- Четная: \( f(-x) = f(x) \)
- Нечетная: \( f(-x) = -f(x) \)
Подставим \( -x \): \[ f(-x) = -(-x)^3 + 3(-x)^2 = -(-x^3) + 3x^2 = x^3 + 3x^2 \]
Это не равно \( f(x) = -x^3 + 3x^2 \) и не равно \( -f(x) = x^3 - 3x^2 \). Следовательно, функция не четная и не нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат
с осью \( OX \) (где \( y=0 \)): \[ -x^3 + 3x^2 = 0 \] Вынесем \( x^2 \): \[ x^2(-x + 3) = 0 \] Решения: \[ x^2=0 \implies x=0 \] \[ -x+3=0 \implies x=3 \] Точки пересечения с ОХ: \[ (0, 0) \quad \text{и} \quad (3, 0) \]
с осью \( OY \) (где \( x=0 \)): \[ y = -0 + 0 = 0 \] Точка пересечения с ОY: \[ (0, 0) \] то есть, оно пересекается в начале координат.
5. Производная — промежутки монотонности и экстремумы
Найдем первую производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2) = -3x^2 + 6x \] Вынесем за скобки: \[ y' = -3x(x - 2) \] Зададим знак \( y' \):
- \( y' > 0 \): \[ -3x(x-2) > 0 \] или \[ 3x(x-2) < 0 \] Решим неравенство:
| \( x \) | \( x-2 \) | \( x(x-2) \) | \( 3x(x-2) \) | знак |
|---|---|---|---|---|
| \( x<0 \) | \( x-2<0 \) | \( <0 \) | \( <0 \) | \( >0 \) уравнение? \(|3x(x-2)|\) — бьем по знакам. |
| \( 0<x<2 \) | \( >0 \), \( <0 \) | \( <0 \) | \( <0 \) | \( <0 \) — \( y' \) > 0 |
| \( x>2 \) | \( >0 \) | \( >0 \) | \( >0 \) | \( >0 \) — \( y' \) < 0 |
Для точности:
- \( y' > 0 \) (функция возрастает): \[ x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \]
- \( y' < 0 \) (убывает): \[ x \in (0, 2) \]
Критические точки — где \( y' = 0 \): \[ -3x(x-2)=0 \implies x=0, x=2 \]
Теперь найдем значения функции в этих точках:
- \( x=0 \): \( y=0 \)
- \( x=2 \): \( y = -8 + 12 = 4 \)
Итак, экстремумы:
- в точке \( x=0 \), \( y=0 \) — кандидат на минимум или максимум.
- в точке \( x=2 \), \( y=4 \) — кандидат на максимум или минимум.
Для определения типа экстремума используем вторую производную.
6. Вторая производная
\[ y'' = \frac{d}{dx} y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x) = -6x + 6 \] Подставим критические точки:
- \( x=0 \): \( y'' = -6*0 + 6=6 > 0 \), значит, в точке \( (0,0) \) — локальный минимум.
- \( x=2 \): \( y''= -6*2 + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \), значит, в точке \( (2,4) \) — локальный максимум.
7. Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \)
- Убывает на \( (0, 2) \)
8. Анализ экстремумов:
- В точке \( (0,0) \) — локальный минимум.
- В точке \( (2,4) \) — локальный максимум.
9. Построение графика
Можно представить график по следующим характеристикам:
- Пересечения с осями: (0,0) и (3,0).
- Экстремумы: минимум в (0,0), максимум в (2,4).
- Возрастание: \( (-\infty, 0) \), \( (2, +\infty) \).
- Убывание: \( (0, 2) \).
- Пределы при \( x \to \pm\infty \): \( y \to -\infty \).
Если есть необходимость, я могу помочь с построением графика более предметно или показать это на чертеже.
