Исследуйте функцию y=-x^3+3x^2 постройте ее график (область определения,область значений,четность,нечетность,точки пересечения с осями координат,промежутки знакопостоянства,промежутки монотонности,экстремумы функции)
Ответ нейросети
05 июня 2025 05:47
Давайте подробно проанализируем функцию ( y = -x^3 + 3x^2 ). Я сделаю пошаговое исследование, которое поможет понять её график и свойства.
1. Область определения
Кубботная функция определена для всех значений ( x ): [ \boxed{ \text{Область определения}:\quad \mathbb{R} } ] то есть, для всех реальных чисел.
2. Область значений
Чтобы найти область значений, посмотрим на поведение функции на бесконечности.
При ( x \to +\infty ): [ y = -x^3 + 3x^2 \sim -x^3 \to -\infty ]
При ( x \to -\infty ): [ y \sim -x^3 \to +\infty ]
То есть, значение функции ( y ) может принимать любые числа — область значений: [ \boxed{ \text{Область значений}:\quad (-\infty, +\infty) } ]
3. Четность или нечетность функции
Проверим, является ли функция четной или нечетной:
- Четная: ( f(-x) = f(x) )
- Нечетная: ( f(-x) = -f(x) )
Подставим ( -x ): [ f(-x) = -(-x)^3 + 3(-x)^2 = -(-x^3) + 3x^2 = x^3 + 3x^2 ]
Это не равно ( f(x) = -x^3 + 3x^2 ) и не равно ( -f(x) = x^3 - 3x^2 ). Следовательно, функция не четная и не нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат
с осью ( OX ) (где ( y=0 )): [ -x^3 + 3x^2 = 0 ] Вынесем ( x^2 ): [ x^2(-x + 3) = 0 ] Решения: [ x^2=0 \implies x=0 ] [ -x+3=0 \implies x=3 ] Точки пересечения с ОХ: [ (0, 0) \quad \text{и} \quad (3, 0) ]
с осью ( OY ) (где ( x=0 )): [ y = -0 + 0 = 0 ] Точка пересечения с ОY: [ (0, 0) ] то есть, оно пересекается в начале координат.
5. Производная — промежутки монотонности и экстремумы
Найдем первую производную: [ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2) = -3x^2 + 6x ] Вынесем за скобки: [ y' = -3x(x - 2) ] Зададим знак ( y' ):
- ( y' > 0 ): [ -3x(x-2) > 0 ] или [ 3x(x-2) < 0 ] Решим неравенство:
| ( x ) | ( x-2 ) | ( x(x-2) ) | ( 3x(x-2) ) | знак |
|---|---|---|---|---|
| ( x<0 ) | ( x-2<0 ) | ( <0 ) | ( <0 ) | ( >0 ) уравнение? ( |
| ( 0<x<2 ) | ( >0 ), ( <0 ) | ( <0 ) | ( <0 ) | ( <0 ) — ( y' ) > 0 |
| ( x>2 ) | ( >0 ) | ( >0 ) | ( >0 ) | ( >0 ) — ( y' ) < 0 |
Для точности:
- ( y' > 0 ) (функция возрастает): [ x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) ]
- ( y' < 0 ) (убывает): [ x \in (0, 2) ]
Критические точки — где ( y' = 0 ): [ -3x(x-2)=0 \implies x=0, x=2 ]
Теперь найдем значения функции в этих точках:
- ( x=0 ): ( y=0 )
- ( x=2 ): ( y = -8 + 12 = 4 )
Итак, экстремумы:
- в точке ( x=0 ), ( y=0 ) — кандидат на минимум или максимум.
- в точке ( x=2 ), ( y=4 ) — кандидат на максимум или минимум.
Для определения типа экстремума используем вторую производную.
6. Вторая производная
[ y'' = \frac{d}{dx} y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x) = -6x + 6 ] Подставим критические точки:
- ( x=0 ): ( y'' = -6*0 + 6=6 > 0 ), значит, в точке ( (0,0) ) — локальный минимум.
- ( x=2 ): ( y''= -6*2 + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 ), значит, в точке ( (2,4) ) — локальный максимум.
7. Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на ( (-\infty, 0) ) и ( (2, +\infty) )
- Убывает на ( (0, 2) )
8. Анализ экстремумов:
- В точке ( (0,0) ) — локальный минимум.
- В точке ( (2,4) ) — локальный максимум.
9. Построение графика
Можно представить график по следующим характеристикам:
- Пересечения с осями: (0,0) и (3,0).
- Экстремумы: минимум в (0,0), максимум в (2,4).
- Возрастание: ( (-\infty, 0) ), ( (2, +\infty) ).
- Убывание: ( (0, 2) ).
- Пределы при ( x \to \pm\infty ): ( y \to -\infty ).
Если есть необходимость, я могу помочь с построением графика более предметно или показать это на чертеже.
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
