В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ стороны основания АВ — 2 и ВС = 9, а высота ЛА\ = 6. Найдите угол между прямыми AiD и BD\.
Рассмотрим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Параллелепипед \( ABCDA'B'C'D' \)
- Основание \( ABCD \)
- Длины сторон основания:
- \( AB = 2 \)
- \( BC = 9 \)
- Высота: \( A' D' = 6 \)
Задача: найти угол между прямыми \( A' D \) и \( BD \).
Шаг 1. Расположение элементов в пространстве
Обозначим точки:
- \( A = (0, 0, 0) \)
- \( B = (2, 0, 0) \) — по условию \( AB=2 \)
- \( C = (2, 9, 0) \) — по условию \( BC=9 \)
- \( D = (0, 9, 0) \) — чтобы сформировать прямоугольник основание (периметр \(AD=2\), \(DC=2\), \(AB=2\), \(BC=9\))
- Высота по вертикали: \( A' \) находится на высоте 6 над \( A \), т.е. \( A' = (0, 0, 6) \).
- Аналогично \( D' = (0, 9, 6) \).
Шаг 2. Характеристика искомых прямых
- \( A'D \) — это прямая, проходящая через точку \( A' (0, 0, 6) \) и точку \( D (0, 9, 0) \).
- \( BD \) — это диагональ основания, соединяющая \( B (2, 0, 0) \) и \( D (0, 9, 0) \).
Шаг 3. Векторы направлений
Нам нужно найти векторы, задающие эти прямые:
- Вектор \( \vec{A'D} = D - A' = (0 - 0, 9 - 0, 0 - 6) = (0, 9, -6) \).
- Вектор \( \vec{BD} = D - B = (0 - 2, 9 - 0, 0 - 0) = (-2, 9, 0) \).
Шаг 4. Формула для определения угла между двумя прямыми
Угол \( \theta \) между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) определяется через скалярное произведение:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
где:
- \( \vec{u} = \vec{A'D} = (0, 9, -6) \),
- \( \vec{v} = \vec{BD} = (-2, 9, 0) \).
Шаг 5. Вычисление скалярного произведения
\[ \vec{A'D} \cdot \vec{BD} = (0)(-2) + (9)(9) + (-6)(0) = 0 + 81 + 0 = 81 \]
Шаг 6. Вычисление модулей векторов
\[ |\vec{A'D}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 81 + 36} = \sqrt{117} \]
\[ |\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 9^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 81 + 0} = \sqrt{85} \]
Шаг 7. Найдение косинуса угла
\[ \cos \theta = \frac{81}{\sqrt{117} \times \sqrt{85}} = \frac{81}{\sqrt{117 \times 85}} \]
Вычислим \( 117 \times 85 \):
\[ 117 \times 85 = (117 \times 80) + (117 \times 5) = 9360 + 585 = 9945 \]
Таким образом:
\[ \cos \theta = \frac{81}{\sqrt{9945}} \]
Шаг 8. Итоговое значение
Теперь выразим угол:
\[ \boxed{ \theta = \arccos \left( \frac{81}{\sqrt{9945}} \right) } \]
Это — точное выражение. Если требуется приближённое значение:
\[ \sqrt{9945} \approx 99.72 \]
Поэтому:
\[ \cos \theta \approx \frac{81}{99.72} \approx 0.812 \]
И:
\[ \theta \approx \arccos(0.812) \approx 35.9^\circ \]
Итог:
Ответ: угол между прямыми \( A' D \) и \( BD \) примерно равен 36 градусам.
Если нужно точное выражение — это угол \(\arccos \left( \frac{81}{\sqrt{9945}} \right)\).
