В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ стороны основания АВ — 2 и ВС = 9, а высота ЛА\ = 6. Найдите угол между прямыми AiD и BD\.

Рассмотрим задачу пошагово и подробно. **Дано:** - Параллелепипед \( ABCDA'B'C'D' \) - Основание \( ABCD \) - Длины сторон основания: - \( AB = 2 \) - \( BC = 9 \) - Высота: \( A' D' = 6 \) **Задача:** найти угол между прямыми \( A' D \) и \( BD \). --- ### Шаг 1. Расположение элементов в пространстве Обозначим точки: - \( A = (0, 0, 0) \) - \( B = (2, 0, 0) \) — по условию \( AB=2 \) - \( C = (2, 9, 0) \) — по условию \( BC=9 \) - \( D = (0, 9, 0) \) — чтобы сформировать прямоугольник основание (периметр \(AD=2\), \(DC=2\), \(AB=2\), \(BC=9\)) - Высота по вертикали: \( A' \) находится на высоте 6 над \( A \), т.е. \( A' = (0, 0, 6) \). - Аналогично \( D' = (0, 9, 6) \). --- ### Шаг 2. Характеристика искомых прямых - \( A'D \) — это прямая, проходящая через точку \( A' (0, 0, 6) \) и точку \( D (0, 9, 0) \). - \( BD \) — это диагональ основания, соединяющая \( B (2, 0, 0) \) и \( D (0, 9, 0) \). --- ### Шаг 3. Векторы направлений Нам нужно найти векторы, задающие эти прямые: - Вектор \( \vec{A'D} = D - A' = (0 - 0, 9 - 0, 0 - 6) = (0, 9, -6) \). - Вектор \( \vec{BD} = D - B = (0 - 2, 9 - 0, 0 - 0) = (-2, 9, 0) \). --- ### Шаг 4. Формула для определения угла между двумя прямыми Угол \( \theta \) между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) определяется через скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] где: - \( \vec{u} = \vec{A'D} = (0, 9, -6) \), - \( \vec{v} = \vec{BD} = (-2, 9, 0) \). --- ### Шаг 5. Вычисление скалярного произведения \[ \vec{A'D} \cdot \vec{BD} = (0)(-2) + (9)(9) + (-6)(0) = 0 + 81 + 0 = 81 \] --- ### Шаг 6. Вычисление модулей векторов \[ |\vec{A'D}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 81 + 36} = \sqrt{117} \] \[ |\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 9^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 81 + 0} = \sqrt{85} \] --- ### Шаг 7. Найдение косинуса угла \[ \cos \theta = \frac{81}{\sqrt{117} \times \sqrt{85}} = \frac{81}{\sqrt{117 \times 85}} \] Вычислим \( 117 \times 85 \): \[ 117 \times 85 = (117 \times 80) + (117 \times 5) = 9360 + 585 = 9945 \] Таким образом: \[ \cos \theta = \frac{81}{\sqrt{9945}} \] --- ### Шаг 8. Итоговое значение Теперь выразим угол: \[ \boxed{ \theta = \arccos \left( \frac{81}{\sqrt{9945}} \right) } \] Это — точное выражение. Если требуется приближённое значение: \[ \sqrt{9945} \approx 99.72 \] Поэтому: \[ \cos \theta \approx \frac{81}{99.72} \approx 0.812 \] И: \[ \theta \approx \arccos(0.812) \approx 35.9^\circ \] --- ### Итог: **Ответ:** угол между прямыми \( A' D \) и \( BD \) примерно равен **36 градусам**. Если нужно точное выражение — это угол \(\arccos \left( \frac{81}{\sqrt{9945}} \right)\).