y=4x³-5x/x+2
Конечно! Рассмотрим задачу: \( y = \frac{4x^3 - 5x}{x + 2} \).
Цель — понять, как упростить и проанализировать этот выражение. Предположим, что класс — средняя школа, и объяснение должно быть подробным.
Шаг 1: Анализ исходного выражения
Имеется дробь: \[ y = \frac{4x^3 - 5x}{x + 2} \]
Это рациональное выражение, и его можно упростить или понять более подробно, выполнив деление многочленов — деление по схеме "деление столбиком" или используя полиномы.
Шаг 2: Деление многочлена
Нам нужно разделить числитель \(4x^3 - 5x\) на знаменатель \(x + 2\).
Выполним деление многочленов:
- Степень числителя — 3, в знаменателе — 1, значит, результат будет иметь степень 2 или меньше.
Шаг 3: Деление многочлена по схеме (длинное деление)
Делим \(4x^3 - 5x\) на \(x + 2\).
Делим первый член числителя \(4x^3\) на ведущий член делителя \(x\):
\(\frac{4x^3}{x} = 4x^2\).Умножаем весь делитель \(x + 2\) на полученный — \(4x^2\):
\(4x^2 \times (x + 2) = 4x^3 + 8x^2\).Вычитаем это из числителя:
\[ (4x^3 - 5x) - (4x^3 + 8x^2) = -8x^2 - 5x \]Продолжаем деление — делим \(-8x^2\) на \(x\):
\(\frac{-8x^2}{x} = -8x\).Умножаем делитель на \(-8x\):
\(-8x \times (x + 2) = -8x^2 -16x\).Вычитаем из текущего остатка:
\[ (-8x^2 - 5x) - (-8x^2 - 16x) = 11x \]Делим \(11x\) на \(x\) — получаем \(11\).
Умножаем делитель на 11:
\(11 \times (x + 2) = 11x + 22\).Вычитаем:
\[ 11x - (11x + 22) = -22 \]
Итог:
- Частное: \(4x^2 - 8x + 11\)
- Остаток: \(-22\)
Записываем результат деления:
\[
\frac{4x^3 - 5x}{x + 2} = 4x^2 - 8x + 11 + \frac{-22}{x + 2}
\]
или
\[
y = 4x^2 - 8x + 11 - \frac{22}{x + 2}
\]
Ответ:
\[ \boxed{ y = 4x^2 - 8x + 11 - \frac{22}{x + 2} } \]
Дополнительные пояснения:
- Эта форма показывает разложение исходного выражения на многочлен и дробную часть.
- Можно анализировать асимптоты и области определения исходного выражения.
- Область определения — все \(x\), кроме \(x = -2\) (ведь знаменатель не равен нулю).
Если нужно, я могу помочь с графиком или анализом поведения функции!
