Конечно! Давайте подробно разберем задачу по нахождению площади площади, ограниченной графиками прямо и трапеции между прямыми.
Задача:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^2 ), линией ( y=0 ) (осью абсцисс), и вертикальными линиями ( x=1 ) и ( x=3 ).
Шаг 1: Обозначение границ области
- Левая граница: ( x=1 )
- Правая граница: ( x=3 )
- Верхняя граница: график функции ( y = x^2 )
- Нижняя граница: ось ( y=0 )
Наша задача: найти площадь области между этими границами.
Шаг 2: Запишите выражение для площади
Площадь фигуры можно выразить через интеграл по переменной ( x ):
[
S = \int_{x=1}^{x=3} y_{верх} - y_{низ} , dx
]
Здесь:
- Верхняя граница: ( y_{верх} = x^2 )
- Нижняя граница: ( y_{низ} = 0 )
Следовательно,
[
S = \int_{1}^{3} (x^2 - 0) , dx = \int_{1}^{3} x^2 , dx
]
Шаг 3: Вычисляем интеграл
Интеграл функции ( x^2 ):
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3}
]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Площадь ограниченной области} = \frac{26}{3}
}
]
Если нужно более подробно объяснить каждый шаг или имеются дополнительные вопросы — обращайтесь!
