A

Задача на доске включает в себя несколько выражений, связанных с биномиальными коэффициентами и алгебраическими операциями. Рассмотрим каждый пункт по порядку, чтобы понять, что нужно решить или упростить.

4. \(A_4^2 + A_8^1\)

• Представляет сумму двух перестановок или элементов с индексами: \(A_4^2\) и \(A_8^1\).
• Обычно \(A_n^k\) — это обозначение для перестановок, то есть количества способов выбрать и упорядочить \(k\) элементов из \(n\).

Формула для перестановок:
\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Потому что:

• \(A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2!} = \frac{24}{2} = 12\)
• \(A_8^1 = \frac{8!}{(8-1)!} = \frac{8!}{7!} = 8\)

Ответ для 4:
\[ A_4^2 + A_8^1 = 12 + 8 = 20 \]

5. \(\frac{A_6^2}{A_7^3}\)

Используем формулу перестановок:

• \(A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{720}{4!} = \frac{720}{24} = 30\)
• \(A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{5040}{4!} = \frac{5040}{24} = 210\)

Теперь делим:

\[ \frac{A_6^2}{A_7^3} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7} \]

Ответ для 5: \(\frac{1}{7}\)

6. \(\frac{A_5^3 \cdot A_4^2}{A_4^3}\)

Рассчитаем каждое:

• \(A_5^3 = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60\)
• \(A_4^2 = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12\)
• \(A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1!} = 24\)

Подставим:

\[ \frac{60 \times 12}{24} = \frac{720}{24} = 30 \]

Итоговые ответы:

1. 4. \(A_4^2 + A_8^1 = 20\)
2. 5. \(\frac{A_6^2}{A_7^3} = \frac{1}{7}\)
3. 6. \(\frac{A_5^3 \cdot A_4^2}{A_4^3} = 30\)

Если нужно подробнее про каждое выражение или дополнительные шаги, скажи!