На электронном замке установлены 5 различных букв и 7 разных цифр. Сколько «ключей» для открытия замка можно придумать, если набирать три разные буквы в определенном порядке и три…

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно, чтобы понять, как решить подобную задачу.

Задача:
На электронном замке есть 5 различных букв и 7 различных цифр. Нужно определить, сколько возможных "ключей" можно придумать, если:

• Выбираются 3 разные буквы, которые набираются в определенном порядке.
• Выбираются 3 разные цифры, которые набираются в произвольном порядке.

Поскольку "в определенном порядке" для букв, а "произвольно" — для цифр, следовательно:

• Для букв мы считаем все возможные перестановки из 3 выбранных букв.
• Для цифр — все возможные комбинации из 3 выбранных цифр без учета порядка (то есть, комбинации).

Шаг 1: Выбор и перестановка букв

• Что дано: 5 различных букв.
• Необходимо выбрать 3 буквы и расположить их в определенном порядке.

Количество вариантов:

Количество способов выбрать и расположить 3 буквы из 5 — это число перестановок по 3 элементов из 5, что вычисляется по формуле:

\[ P_5^3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]

Шаг 2: Выбор цифр

• Что дано: 7 различных цифр.
• Нужно выбрать любые 3 цифры и расположить их в произвольном порядке.

Поскольку в условии указано "произвольный порядок", эти 3 цифры можно перемешивать в любом порядке, то есть, также используем перестановки.

Количество перестановок из 7 по 3:

\[ P_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 3: Общее количество "ключей"

Поскольку выбор букв и цифр происходит независимо, нужно перемножить количество вариантов:

\[ \text{Общее количество} = (\text{число перестановок букв}) \times (\text{число перестановок цифр}) = 60 \times 210 = 12\,600 \]

Ответ:

На замке можно придумать 12 600 различных ключей.

Если нужно более подробно или есть ещё вопросы — задавайте!