Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно, чтобы понять, как решить подобную задачу.
Задача:
На электронном замке есть 5 различных букв и 7 различных цифр. Нужно определить, сколько возможных "ключей" можно придумать, если:
- Выбираются 3 разные буквы, которые набираются в определенном порядке.
- Выбираются 3 разные цифры, которые набираются в произвольном порядке.
Поскольку "в определенном порядке" для букв, а "произвольно" — для цифр, следовательно:
- Для букв мы считаем все возможные перестановки из 3 выбранных букв.
- Для цифр — все возможные комбинации из 3 выбранных цифр без учета порядка (то есть, комбинации).
Шаг 1: Выбор и перестановка букв
- Что дано: 5 различных букв.
- Необходимо выбрать 3 буквы и расположить их в определенном порядке.
Количество вариантов:
Количество способов выбрать и расположить 3 буквы из 5 — это число перестановок по 3 элементов из 5, что вычисляется по формуле:
[
P_5^3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
]
Шаг 2: Выбор цифр
- Что дано: 7 различных цифр.
- Нужно выбрать любые 3 цифры и расположить их в произвольном порядке.
Поскольку в условии указано "произвольный порядок", эти 3 цифры можно перемешивать в любом порядке, то есть, также используем перестановки.
Количество перестановок из 7 по 3:
[
P_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{5040}{24} = 210
]
Шаг 3: Общее количество "ключей"
Поскольку выбор букв и цифр происходит независимо, нужно перемножить количество вариантов:
[
\text{Общее количество} = (\text{число перестановок букв}) \times (\text{число перестановок цифр}) = 60 \times 210 = 12,600
]
Ответ:
На замке можно придумать 12 600 различных ключей.
Если нужно более подробно или есть ещё вопросы — задавайте!
