Y'=1/(sin^2+(3x+2))

Давайте разберём задачу по дифференцированию функции: \[ y' = \frac{1}{\sin^2(3x + 2)} \] или, более явно: \[ y' = \left[\sin^2(3x + 2)\right]^{-1} \] --- ### Шаг 1: Распознавание формы Эта функция — это обратная функция к синусу в квадрате. Для её дифференцирования применим правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного. Здесь удобнее представить функцию в виде: \[ y' = (\sin^2(3x + 2))^{-1} \] Давайте упростим название: Обозначим \( u = \sin^2(3x + 2) \), тогда: \[ y' = u^{-1} \] --- ### Шаг 2: Дифференцирование через цепочку Чтобы найти \( y' \), нужно взять производную от \( y = u^{-1} \) по \( x \): \[ y' = -u^{-2} \cdot \frac{du}{dx} \] Теперь нужно найти \( \frac{du}{dx} \). --- ### Шаг 3: Дифференцирование \( u = \sin^2(3x + 2) \) Здесь опять используется цепочка: \[ u = (\sin(3x + 2))^2 \] Производная по \( x \): \[ \frac{du}{dx} = 2 \sin(3x + 2) \cdot \frac{d}{dx} \sin(3x + 2) \] Производная \( \sin(3x + 2) \): \[ \frac{d}{dx} \sin(3x + 2) = \cos(3x + 2) \cdot 3 \] Итак: \[ \frac{du}{dx} = 2 \sin(3x + 2) \cdot 3 \cos(3x + 2) = 6 \sin(3x + 2) \cos(3x + 2) \] --- ### Шаг 4: Итоговое выражение для \( y' \) Подставляем это в формулу для \( y' \): \[ y' = -u^{-2} \cdot \frac{du}{dx} = -\left[\sin^2(3x + 2)\right]^{-2} \cdot 6 \sin(3x + 2) \cos(3x + 2)\] Ответ запишем аккуратно: \[ y' = - \frac{6 \sin(3x + 2) \cos(3x + 2)}{\sin^4(3x+ 2)} \] --- ### Шаг 5: Упростим выражение Обратимся к свойствам тригонометрических функций: \[ \sin(3x+2) \text{ в числителе, а } \sin^4(3x+2) \text{ в знаменателе} \] Можно упростить, выразив \( \sin(3x+2) \) в дроби: \[ y' = - \frac{6 \cos(3x+2)}{\sin^3(3x+2)} \] или, записав через cotangent и cosecant, если нужно, но обычно оставляем так. --- ### Итоговое решение: \[ \boxed{ \displaystyle y' = - \frac{6 \cos(3x+2)}{\sin^3(3x+2)} } \] Это — окончательный ответ. Если нужны дополнительные пояснения или советы по применению, я готов помочь!