y'=1/(sin^2+(3x+2))
Давайте разберём задачу по дифференцированию функции:
\[ y' = \frac{1}{\sin^2(3x + 2)} \]
или, более явно:
\[ y' = \left[\sin^2(3x + 2)\right]^{-1} \]
Шаг 1: Распознавание формы
Эта функция — это обратная функция к синусу в квадрате. Для её дифференцирования применим правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного.
Здесь удобнее представить функцию в виде:
\[ y' = (\sin^2(3x + 2))^{-1} \]
Давайте упростим название:
Обозначим \( u = \sin^2(3x + 2) \), тогда:
\[ y' = u^{-1} \]
Шаг 2: Дифференцирование через цепочку
Чтобы найти \( y' \), нужно взять производную от \( y = u^{-1} \) по \( x \):
\[ y' = -u^{-2} \cdot \frac{du}{dx} \]
Теперь нужно найти \( \frac{du}{dx} \).
Шаг 3: Дифференцирование \( u = \sin^2(3x + 2) \)
Здесь опять используется цепочка:
\[ u = (\sin(3x + 2))^2 \]
Производная по \( x \):
\[ \frac{du}{dx} = 2 \sin(3x + 2) \cdot \frac{d}{dx} \sin(3x + 2) \]
Производная \( \sin(3x + 2) \):
\[ \frac{d}{dx} \sin(3x + 2) = \cos(3x + 2) \cdot 3 \]
Итак:
\[ \frac{du}{dx} = 2 \sin(3x + 2) \cdot 3 \cos(3x + 2) = 6 \sin(3x + 2) \cos(3x + 2) \]
Шаг 4: Итоговое выражение для \( y' \)
Подставляем это в формулу для \( y' \):
\[ y' = -u^{-2} \cdot \frac{du}{dx} = -\left[\sin^2(3x + 2)\right]^{-2} \cdot 6 \sin(3x + 2) \cos(3x + 2)\]
Ответ запишем аккуратно:
\[ y' = - \frac{6 \sin(3x + 2) \cos(3x + 2)}{\sin^4(3x+ 2)} \]
Шаг 5: Упростим выражение
Обратимся к свойствам тригонометрических функций:
\[ \sin(3x+2) \text{ в числителе, а } \sin^4(3x+2) \text{ в знаменателе} \]
Можно упростить, выразив \( \sin(3x+2) \) в дроби:
\[ y' = - \frac{6 \cos(3x+2)}{\sin^3(3x+2)} \]
или, записав через cotangent и cosecant, если нужно, но обычно оставляем так.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ \displaystyle y' = - \frac{6 \cos(3x+2)}{\sin^3(3x+2)} } \]
Это — окончательный ответ.
Если нужны дополнительные пояснения или советы по применению, я готов помочь!
