Пусть Ева перехватывает фотоны Алисы и измеряет их в каноническом или диагональном базисе, выбирая случайно. Потом она приготавливает фотон в состоянии, полученном при измерении, и отсылает его Бобу. Какую ошибку обнаружат Алиса и Боб, т.е. какая часть бит (в процентах) их секретных ключей в среднем получится разная?

Это задача, связанная с протоколами квантовой криптографии, например, с протоколом BB84. Давайте разберём её подробно и поэтапно. --- ### Общая идея задачи: - Алиса измеряет фотоны Евы (перехваченные фотоны) в случайном базисе (каноническом или диагональном). - Она использует результат измерения для подготовки нового фотона и отправляет его Бобу. - Боб тоже выбирает базис измерения случайно. - После завершения обмена они могут сравнить базисы (но не результаты) и определить степень ошибок — долюбит, которые различаются в их ключах. Задача: **найти средний уровень ошибок (в процентах), который возникнет из-за выбора разных базисов и перехвата фотоны Евы.** --- ### Почему появляется ошибка? - В квантовой криптографии, если одна сторона (Ева или в нашем случае — перехватчик) измеряет фотон в случайном базисе, а другая (Алиса и Боб) в случайных базисах, то **часто** их базисы совпадут или не совпадут. - Если базисы совпадут, то измерения не вызывают ошибок. - Если базисы различаются, то **возможна ошибка (бит, который не совпадает)** при сравнении. --- ### Детальный разбор: Для данной задачи предположим: - Алиса и Боб используют базисы с равной вероятностью (по 50%). - Ева (перехватчик) тоже выбирает базис случайно. **Пояснения:** 1. **Вероятность совпадения базисов у Алисы и Боба** - Алиса выбирает базис A. - Боб выбирает базис B. - Вероятность, что они выберут одинаковый базис: \( P_{match} = \frac{1}{2} \) 2. **Вероятность того, что Ева выбрала базис, отличный от Алисы** - Ева выбирает базис ext. - Вероятность того, что Ева выбрала базис, отличный от Алисы, равна: \( P_{Eva \neq Alice} = \frac{1}{2} \) 3. **Ошибка в ключе** - Если базисы совпадут (\( P_{match} = 1/2 \)), то ошибка не возникает, потому что измерение и подготовка фотона совпадут, и результаты будут совпадать. - Если базисы не совпадают, то уровень ошибок (доля different bits) равен 50%, потому что измерение в случайной базе при наличии другого базиса даёт бит с равновероятной вероятностью 0 или 1 (по сути, полностью случайное). --- ### Итоговое вычисление: На практике, наиболее критичные случаи — когда: - Алиса и Боб выбрали одинаковый базис, а Ева — другой. Они получают разные результаты (ошибка). - Вероятность этого: \[ P_{ошибка} = P_{базисы совпадают} \times P_{Ева выбрала другой базис} \times \text{часть ошибок при несовпадении базиса} \] Так как, при несовпадении базиса, результат при измерении в случайной базе отличается с вероятностью 50%, и потому число ошибок среди всех переданных бит равна: \[ \boxed{ QBER \approx \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 50\% = 12.5\% } \] Где: - первая \(\frac{1}{2}\) — вероятность совпадения базисов Алисы и Боба. - вторая \(\frac{1}{2}\) — вероятность, что Ева выбрала другой базис. - 50% — вероятность ошибки при несовпадении базисов. --- ### Итовый ответ: **Средний уровень ошибок (часть бит, которая не совпадёт) составляет примерно 12.5%.** --- Если есть дополнительные параметры или нюансы в задаче, их можно учесть, но по стандартным протоколам BB84 и при случайных выборках базисов это — типичный уровень ошибок из-за перехвата. --- Если нужно, я могу дополнительно объяснить или уточнить любой аспект!