Пусть Ева перехватывает фотоны Алисы и измеряет их в каноническом или диагональном базисе, выбирая случайно. Потом она приготавливает фотон в состоянии, полученном при измерении,…

Это задача, связанная с протоколами квантовой криптографии, например, с протоколом BB84. Давайте разберём её подробно и поэтапно.

Общая идея задачи:

• Алиса измеряет фотоны Евы (перехваченные фотоны) в случайном базисе (каноническом или диагональном).
• Она использует результат измерения для подготовки нового фотона и отправляет его Бобу.
• Боб тоже выбирает базис измерения случайно.
• После завершения обмена они могут сравнить базисы (но не результаты) и определить степень ошибок — долюбит, которые различаются в их ключах.

Задача: найти средний уровень ошибок (в процентах), который возникнет из-за выбора разных базисов и перехвата фотоны Евы.

Почему появляется ошибка?

• В квантовой криптографии, если одна сторона (Ева или в нашем случае — перехватчик) измеряет фотон в случайном базисе, а другая (Алиса и Боб) в случайных базисах, то часто их базисы совпадут или не совпадут.
• Если базисы совпадут, то измерения не вызывают ошибок.
• Если базисы различаются, то возможна ошибка (бит, который не совпадает) при сравнении.

Детальный разбор:

Для данной задачи предположим:

• Алиса и Боб используют базисы с равной вероятностью (по 50%).
• Ева (перехватчик) тоже выбирает базис случайно.

Пояснения:

1. Вероятность совпадения базисов у Алисы и Боба

   • Алиса выбирает базис A.
   • Боб выбирает базис B.
   • Вероятность, что они выберут одинаковый базис: \( P_{match} = \frac{1}{2} \)

2. Вероятность того, что Ева выбрала базис, отличный от Алисы

   • Ева выбирает базис ext.
   • Вероятность того, что Ева выбрала базис, отличный от Алисы, равна: \( P_{Eva \neq Alice} = \frac{1}{2} \)

3. Ошибка в ключе

   • Если базисы совпадут (\( P_{match} = 1/2 \)), то ошибка не возникает, потому что измерение и подготовка фотона совпадут, и результаты будут совпадать.
   • Если базисы не совпадают, то уровень ошибок (доля different bits) равен 50%, потому что измерение в случайной базе при наличии другого базиса даёт бит с равновероятной вероятностью 0 или 1 (по сути, полностью случайное).

Итоговое вычисление:

На практике, наиболее критичные случаи — когда:

• Алиса и Боб выбрали одинаковый базис, а Ева — другой. Они получают разные результаты (ошибка).
• Вероятность этого:
  \[ P_{ошибка} = P_{базисы совпадают} \times P_{Ева выбрала другой базис} \times \text{часть ошибок при несовпадении базиса} \]

Так как, при несовпадении базиса, результат при измерении в случайной базе отличается с вероятностью 50%, и потому число ошибок среди всех переданных бит равна:

\[ \boxed{ QBER \approx \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 50\% = 12.5\% } \]

Где:

• первая \(\frac{1}{2}\) — вероятность совпадения базисов Алисы и Боба.
• вторая \(\frac{1}{2}\) — вероятность, что Ева выбрала другой базис.
• 50% — вероятность ошибки при несовпадении базисов.

Итовый ответ:

Средний уровень ошибок (часть бит, которая не совпадёт) составляет примерно 12.5%.

Если есть дополнительные параметры или нюансы в задаче, их можно учесть, но по стандартным протоколам BB84 и при случайных выборках базисов это — типичный уровень ошибок из-за перехвата.

Если нужно, я могу дополнительно объяснить или уточнить любой аспект!