.

Рассмотрим каждое задание по очереди и разберем подробно, как его решить. --- ### Задача (а): Вычислить: \[ \left( \frac{3}{4} - \frac{7}{30} \right) \cdot \frac{105}{62} \] **Шаг 1: Найти разность дробей \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{7}{30}\)** - Нечасто дроби имеют разные знаменатели, поэтому нужно найти общий знаменатель. - НО! Лучший способ — привести дроби к общему знаменателю или к общему виду. Общий знаменатель для 4 и 30 — это 60 (наименьшее общее кратное 4 и 30). - Приводим \(\frac{3}{4}\) к знаменателю 60: \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 15}{4 \times 15} = \frac{45}{60} \] - Приводим \(\frac{7}{30}\) к знаменателю 60: \[ \frac{7}{30} = \frac{7 \times 2}{30 \times 2} = \frac{14}{60} \] **Шаг 2: Выполняем вычитание:** \[ \frac{45}{60} - \frac{14}{60} = \frac{45 - 14}{60} = \frac{31}{60} \] **Шаг 3: Умножаем результат на \(\frac{105}{62}\):** \[ \frac{31}{60} \times \frac{105}{62} \] Перемножаем числители и знаменатели: \[ \frac{31 \times 105}{60 \times 62} \] Вычислим числитель: \[ 31 \times 105 = 31 \times (100 + 5) = 31 \times 100 + 31 \times 5 = 3100 + 155 = 3255 \] Вычислим знаменатель: \[ 60 \times 62 = (60 \times 60) + (60 \times 2) = 3600 + 120 = 3720 \] Итак, итоговая дробь: \[ \frac{3255}{3720} \] **Шаг 4: Упростим дробь:** Находим общий делитель чисел 3255 и 3720. - Проверим делимость на 3: \[ 3 \text{ делит } 3255? \text{ Проверим сумму цифр: } 3+2+5+5=15, 15 делится на 3, значит делится. \] - Проверим делимость на 3 для 3720: \[ 3+7+2+0=12, делится на 3. Итак, делим числитель и знаменатель на 3: \[ \frac{3255 \div 3}{3720 \div 3} = \frac{1085}{1240} \] Проверим, можно ли упростить дальше: - 1085: делится на 5? \[ 1085 \div 5=217 \] - 1240: делится на 5? \[ 1240 \div 5=248 \] Делим ещё раз: \[ \frac{217}{248} \] Проверим делимость на простые числа: - 217: факторизация — \(217 = 7 \times 31\). - 248: делится на 2 \text{ (чётное)}, на 4, 8, 31? Проверим делимость на 31: \[ 248 \div 8=31 \quad \text{(и 8 делит 248), так что 248 = 8 \times 31} \] Итак, 248 — \(8 \times 31\), а 217 — \(7 \times 31\). Обнаружили, что обе дроби делятся на 31: \[ \frac{217 \div 31}{248 \div 31} = \frac{7}{8} \] **Ответ пункта (a):** \[ \boxed{\frac{7}{8}} \] --- ### Задача (b): Вычислить: \[ \left( \frac{3}{28} - \frac{5}{42} \right) \div \frac{3}{4} + \frac{17}{18} \] **Шаг 1: Найти разность дробей \(\frac{3}{28}\) и \(\frac{5}{42}\)** - Общий знаменатель для 28 и 42: \[ \text{НОК}(28, 42) = 84 \] Проверим: \[ 28 \times 3 = 84, \quad 42 \times 2 = 84 \] Приводим обе дроби к знаменателю 84: \[ \frac{3}{28} = \frac{3 \times 3}{28 \times 3} = \frac{9}{84} \] \[ \frac{5}{42} = \frac{5 \times 2}{42 \times 2} = \frac{10}{84} \] Вычитаем: \[ \frac{9}{84} - \frac{10}{84} = \frac{9 - 10}{84} = \frac{-1}{84} \] **Шаг 2: Делим полученный результат на \(\frac{3}{4}\):** Деление дробей — это умножение на обратную дробь: \[ \frac{-1}{84} \div \frac{3}{4} = \frac{-1}{84} \times \frac{4}{3} \] Перемножим: \[ \frac{-1 \times 4}{84 \times 3} = \frac{-4}{252} \] Упростим дробь: делим числитель и знаменатель на 4: \[ \frac{-4 \div 4}{252 \div 4} = \frac{-1}{63} \] **Шаг 3: Прибавляем \(\frac{17}{18}\):** Теперь суммируем: \[ \frac{-1}{63} + \frac{17}{18} \] Найдем общий знаменатель. Между 63 и 18 — НОК: \[ 63 = 7 \times 9, \quad 18= 2 \times 3^2 \] Общий знаменатель — 126 (наименьшее кратное), потому что: \[ 63 \times 2 = 126 \] \[ 18 \times 7=126 \] Приводим к знаменателю 126: \[ \frac{-1}{63} = \frac{-1 \times 2}{63 \times 2} = \frac{-2}{126} \] \[ \frac{17}{18} = \frac{17 \times 7}{18 \times 7} = \frac{119}{126} \] Теперь складываем: \[ \frac{-2}{126} + \frac{119}{126} = \frac{119 - 2}{126} = \frac{117}{126} \] Упростим дробь: \[ \text{Общий делитель} — 3: \[ 117 \div 3=39, \quad 126 \div 3=42 \] Итог: \[ \frac{39}{42} \] Еще можно упростить на 3: \[ \frac{39 \div 3}{42 \div 3} = \frac{13}{14} \] **Ответ пункта (b):** \[ \boxed{\frac{13}{14}} \] --- ### Итоговые ответы: - **а)** \(\frac{7}{8}\) - **б)** \(\frac{13}{14}\) Если есть вопросы или нужно подробнее — спрашивай!