Z = 3x1 + 3x2 → max, x1 − 2x2 ≤ 2, −2x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≤ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥

Конечно! Давайте разберем задачу по максимуму для линейного программирования, которая выглядит так: Задача: Максимизировать z = 3x₁ + 3x₂ при условиях: 1) x₁ − 2x₂ ≤ 2 2) -2x₁ + x₂ ≤ 1 3) 2x₁ + x₂ ≤ 8 и x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 --- ## Шаг 1: Построение графика условий и области допустимых решений ### 1. Неравенство 1: x₁ − 2x₂ ≤ 2 - Преобразуем в равенство для построения границы: x₁ − 2x₂ = 2 - Найдем точки пересечения осей: - при x₂=0: x₁=2 - при x₁=0: −2x₂=2 → x₂=−1 (отрицательное значение, но так как x₂≥0, эта точка не входит в допустимую область) - Неравенство указывает, что допустимая область — всё, что находится **под или на** этой прямой. ### 2. Неравенство 2: -2x₁ + x₂ ≤ 1 - Границы: -2x₁ + x₂=1 - Точки пересечения: - при x₁=0: x₂=1 - при x₂=0: -2x₁=1 → x₁=−0.5 (отрицательное значение, не включается в допустимую область, так как x₁≥0) - Область — всё, что находится **под или на** этой прямой. ### 3. Неравенство 3: 2x₁ + x₂ ≤ 8 - Границы: 2x₁ + x₂=8 - Точки: - при x₁=0: x₂=8 - при x₂=0: 2x₁=8 → x₁=4 - Область — всё, что находится **под или на** этой прямой. --- ## Шаг 2: Построение области допустимых решений Область — это пересечение всех условий, где: - x₁ ≥ 0 - x₂ ≥ 0 - и все три неравенства выполняются На графике: - Область ограничена прямыми, которые мы определили. --- ## Шаг 3: Нахождение вершин многоугольника области Для оптимизации функции z — важно найти вершины области (точки пересечения границ). ### Вершина 1: Пересечение линий: - x₁=0, x₂=0 (пересечение осей), но они могут не удовлетворять условиям, посмотрим далее. ### Вершина 2: Пересечение линий из условий: - Линии 1 и 2: x₁ − 2x₂=2 -2x₁ + x₂=1 Решим систему: Из уравнения 2: x₂=1+2x₁ Подставим в уравнение 1: x₁ − 2(1+2x₁)=2 x₁ − 2−4x₁=2 (1−4)x₁=2+2 −3x₁=4 x₁=−4/3 (отрицательное, не подходит, так как x₁≥0) Значит, точка пересечения этих линий находится за пределами допустимой области. --- ### Вершина 3: Пересечение линий 1 и 3: x₁ − 2x₂=2 2x₁ + x₂=8 Решим систему: Из второго уравнения: x₂=8−2x₁ Подставим в первое: x₁ − 2(8−2x₁)=2 x₁ − 16 + 4x₁=2 (1+4)x₁=2+16 5x₁=18 x₁=18/5=3.6 Тогда: x₂=8−2(3.6)=8−7.2=0.8 Проверим неравенства: - x₁=3.6 ≥0 - x₂=0.8 ≥0 - Условия: проверим все исходные неравенства: 1) x₁−2x₂=3.6−2×0.8=3.6−1.6=2, равен 2 → допустимо. 2) -2x₁ + x₂= -2×3.6+0.8= -7.2+0.8= -6.4 ≤1 → выполняется. 3) 2x₁ + x₂=7.2+0.8=8 → равно 8, допускается. Совместимая точка (3.6,0.8). --- ### Вершина 4: Пересечение линий 2 и 3: x₂=1+2x₁ 2x₁ + x₂=8 Подставим: 2x₁ + (1+2x₁)=8 2x₁+1+2x₁=8 4x₁=7 x₁=7/4=1.75 Тогда: x₂=1+2×1.75=1+3.5=4.5 Проверка: - x₁=1.75≥0 - x₂=4.5≥0 - Все условия: 1) x₁−2x₂=1.75−2×4.5=1.75−9=−7.25 ≤2 → выполняется 2) -2x₁ + x₂= -3.5+4.5=1 ≥−∞, условие выполняется 3) 2x₁ + x₂=3.5+4.5=8 → равен 8, допустимо. Итак, точка (1.75, 4.5). --- ## Шаг 4: Вычисление значения функции z в найденных вершинах Теперь найдем z в каждой вершине: 1. Вершина (0,0): z=3*0+3*0=0 2. Вершина (3.6, 0.8): z=3×3.6+3×0.8=10.8+2.4=13.2 3. Вершина (1.75, 4.5): z=3×1.75+3×4.5=5.25+13.5=18.75 --- ## Итог: М maximum z достигается в точке **(1.75, 4.5)**, где значения z = **18.75**. ## Ответ: **Максимальное значение z = 18.75** при **x₁=1.75**, **x₂=4.5**. --- Если нужно более подробно объяснить любой из этапов, скажите!