Задачи для зачёта по геометрии 10 класс. 1.Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. M и N – середины его ребер B1C1 и СС1, соответственно а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данные точки М и N. б) Постройте точку К-точку пересечения прямой МN и плоскости АВСD. в) Определите взаимное положение прямых MN и AD. г) Найдите площадь поверхности пирамиды BDСС1, если ребро куба равно 1. 2. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1 . M и N – середины его ребер AD и CD, соответственно. а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данные точки. б) Постройте прямую, проходящую через точку A1 параллельно прямой MN. в) Найдите тангенс угла наклона прямой C1M к плоскости основания ABCD. г) Найдите площадь поверхности пирамиды MDCC1, если ребро куба равно1. 3. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- середина ребра DD1 а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М. б) Определите взаимное положение прямых B1M и AD. в) Найдите площадь поверхности призмы АВD A1B1D1. г) Найдите тангенс угла наклона прямой B1M к плоскости DD1CC1. 4. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и его сечение плоскостью, проходящей через точки A, A1 и С. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью AA1C ,считая, что ребро куба равно 3. в) Найдите площадь поверхности призмы АВDA1B1D1 г) ) Найдите угол между плоскостями A A1Cи BB1C1C. 5. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- точка на его ребре CC1, такая, что C1M = CM а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М. б) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям DD1CC1 и BB1CC1. в) Найдите тангенс угла наклона прямой A1М к построенной плоскости. г) Найдите, какую длину должно иметь ребро куба, чтобы площадь полной поверхности призмы. Ограниченной плоскостями боковых граней куба, основанием АВСD и плоскостью, была равна 120. 6. Рассматривается правильная треугольная пирамида SABC, боковое ребро которой равно 5,а высота SO=4 а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и её высоту SO. б) Каково взаимное расположение прямых SO и AB. в) Найдите сторону основания пирамиды. г) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 7. Рассматривается треугольная пирамида SABC такая, что все плоские углы при вершине S прямые, SA = SB =5, SC = 3; К – середина ребра АС а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и данную точку К. б) Найдите тангенс угла наклона прямой ВК к плоскости SAC. в) Найдите расстояние от точки С до прямой АВ. г) Найдите площадь полной поверхности пирамиды 8. Рассматривается пирамида SABC, в основании которой лежит равносторонний треугольник АВС, вершина S проектируется в точку A, SA=AB. М и К – середины ребер АС и SС, соответственно. а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и данные точки М и К. б) Определите взаимное расположение прямых ВМ и АК. в) Докажите, что прямая МК перпендикулярна плоскости АВС. г) Найти угол наклона грани SВC к плоскости основания, если сторона основания равна 8, а высота-12. 9. Рассматривается правильная треугольная пирамида SABC с основанием АВС, М- точка на ребре SA такая, что SM = 3AM а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и данную точку М. б) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и параллельно основанию АВС. в) Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 450, SM =a/. Выразите сторону АВ через а. г) Найти отношение площади боковой поверхности данной пирамиды и отсеченной пирамиды с вершиной S. 10. Рассматривается правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием АВСD а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и её высоту SO. б) Пусть ребро SA наклонено к основанию под углом 450, SO = а. Выразите ребро основания через а. в) Пусть ребро SA наклонено к основанию под углом 450. Определите, какой должна быть высота пирамиды, чтобы её площадь боковой поверхности была равна 18√3. г) Отметьте на ребрах пирамиды SB, SC, AD, CD точки M, N, K, L (соответственно) так, чтобы прямые MN и KL были пересекающимися. 11. Рассматривается правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием АВСD а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и сечение SBD. б) Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости SBD. в) Пусть плоскость боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 300, а расстояние от точки S до прямой AD равно 2. Найдите высоту пирамиды. г) Пусть плоскость боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 300, а расстояние от точки S до прямой AD равно 2. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 12. Рассматривается правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием АВСD. а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и какое-либо её сечение, являющееся четырехугольником. б) Пусть ребро основания пирамиды равно высоте и равно а. Выразите площадь боковой поверхности пирамиды через а. в) Пусть ребро основания пирамиды равно высоте. Определите тангенс угла наклона медианы SM треугольника SAB к основанию. г) Определите взаимное расположение прямых SO и DC. 13. Рассматривается правильная четырёхугольная призма АВСD A1B1C1D1., М – точка на ребре АВ такая, что АМ = 2 ВМ а) Изобразите на чертеже рассматриваемую призму и данную точку М. б) Докажите, что сечение призмы плоскостью AB1C1 является прямоугольником. в) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку М и параллельно плоскости AB1 C1. г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей призмы АВСDA1B1C1D1 и отсеченной треугольной призмы, если сторона основания равна 9,а высота равна 12. A1B 14. Рассматривается правильная четырёхугольная призма АВСDA1B1C1D1. М – середина ребра AD а) Изобразите на чертеже рассматриваемую призму и данную точку М. б) Пусть плоскость A B1C1D наклонена к плоскости основания под углом 600. Выразите высоту АА1призмы через ребро основания. в) Приведите три примера такого расположения точки К грани А1АВ1В при котором прямые МК и B1 D не являются скрещивающимися. г) Пусть плоскость AB1 C1D наклонена к плоскости основания под углом 600, ребро основания равно 5. Найдите площадь полной поверхности призмы.