решите уравнение а) х-4/х=2х+10/х-4. б) х-3/х-2+х-2/х-3=2 1/2.
Давайте решим каждое из уравнений по отдельности и подробно объясним все шаги.
а) Решить уравнение:
\[ \frac{x - 4}{x} = \frac{2x + 10}{x - 4} \]
Шаг 1: Анализ данных
Обозначим исходное уравнение и убедимся, что знаменатели не равны нулю:
- \( x \neq 0 \) (из первого знаменателя);
- \( x \neq 4 \) (из второго знаменателя).
Это важно, чтобы исключить возможность деления на ноль.
Шаг 2: Переписать уравнение для упрощения
Получается:
\[ \frac{x - 4}{x} = \frac{2x + 10}{x - 4} \]
Шаг 3: Перемножить крест-накрест, чтобы избавиться от дробей
Уравнение можно умножить на \( x(x - 4) \): \[ (x - 4)(x - 4) = x(2x + 10) \]
Что даст:
\[ (x - 4)^2 = x(2x + 10) \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Лево: \[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \] Право: \[ x(2x + 10) = 2x^2 + 10x \]
Теперь уравнение: \[ x^2 - 8x + 16 = 2x^2 + 10x \]
Шаг 5: Перенесем все в одну сторону
Чтобы решить квадратное уравнение, перенесем все члены налево: \[ x^2 - 8x + 16 - 2x^2 - 10x = 0 \]
Объединим подобные: \[ x^2 - 2x^2 = -x^2 \] \[ -8x - 10x = -18x \] И остальное: \[ + 16 \]
Получаем: \[ - x^2 - 18x + 16 = 0 \]
Можно умножить всю формулу на \(-1\), чтобы сделать коэффициент при первом слагаемом положительным: \[ x^2 + 18x - 16 = 0 \]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Используем дискриминант: \[ D = (18)^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 324 + 64 = 388 \]
Найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{388}}{2} \] где \(a=1, b=18, c=-16\).
Заметим, что \(\sqrt{388} = \sqrt{4 \times 97} = 2\sqrt{97}\).
Итак: \[ x = \frac{-18 \pm 2\sqrt{97}}{2} = -9 \pm \sqrt{97} \]
Шаг 7: Проверка условий
Помним, что \(x \neq 0\) и \(x \neq 4\).
Значения:
- \(x_1 = -9 + \sqrt{97}\),
- \(x_2 = -9 - \sqrt{97}\).
Поскольку \(\sqrt{97} \approx 9.85\):
- \(x_1 \approx -9 + 9.85 = 0.85 \neq 0, 4\) — подходит.
- \(x_2 \approx -9 - 9.85 = -18.85 \neq 0, 4\) — подходит.
Ответ:
\[
\boxed{
x = -9 \pm \sqrt{97}
}
\]
б) Решить уравнение:
\[ \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 3} = 2 \frac{1}{2} \]
или, проще:
\[ \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{5}{2} \]
Шаг 1: Обозначения
Обозначим: \[ A = \frac{x - 3}{x - 2} \] Тогда: \[ A + \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{5}{2} \]
Обратная часть: \[ \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{1}{A} \] (поскольку \(A = \frac{x - 3}{x - 2}\), то \(\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{1}{A}\)).
Перепишем уравнение: \[ A + \frac{1}{A} = \frac{5}{2} \]
Шаг 2: Решение уравнения относительно \(A\)
Домножим обе части на \(A\): \[ A^2 + 1 = \frac{5}{2} A \]
Перенесем все в левую часть: \[ A^2 - \frac{5}{2}A + 1 = 0 \]
Удобно умножить всё на 2 для избавления дроби: \[ 2A^2 - 5A + 2 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение.
Шаг 3: Находим дискриминант
\[ D = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 \]
Корни: \[ A = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm 3}{4} \]
Получаем два решения:
- \(A_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
- \(A_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Шаг 4: Решение для \(x\)
Вернемся к исходным определениям:
Первая ветка: \(A = \frac{x - 3}{x - 2}\).
случай 1: \(A = 2\)
\[ \frac{x - 3}{x - 2} = 2 \]
Решим: \[ x - 3 = 2(x - 2) \]
Раскроем скобки: \[ x - 3 = 2x - 4 \]
Переносим все: \[ x - 2x = -4 + 3 \] \[ - x = -1 \] \[ x = 1 \]
Проверим, не равно ли \(x = 1\) значениям, делящимся на ноль:
- \(x \neq 2\), и \(x = 1\), подходит.
случай 2: \(A = \frac{1}{2}\)
\[ \frac{x - 3}{x - 2} = \frac{1}{2} \]
Решаем: \[ 2(x - 3) = x - 2 \] \[ 2x - 6 = x - 2 \] \[ 2x - x = -2 + 6 \] \[ x = 4 \]
Проверяем, не равно ли \(x=4\) значениям, делящимся на ноль:
- \(x \neq 3\), \(x=4\), подходит.
Итоговые решения:
\[ \boxed{ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 4 } \]
Если потребуется, я могу помочь дополнительно с проверками или другим решением.
