Доказать что функция не может иметь более одного предела

Давайте разберёмся с задачей: необходимо доказать, что функция не может иметь более одного предела в одной точке. ### Что такое предел функции? Предел функции \(f(x)\) в точке \(a\) — это значение, к которому приближается значение функции \(f(x)\), когда \(x\) приближается к \(a\). Обозначается это так: \[ \lim_{x \to a} f(x) = L \] где \(L\) — это число (может быть бесконечностью, если предел не оговорен как конечный). ### Почему не может быть более одного предела? Доказательство основано на определении предела через сужения или через числовое значение. Предположим, что существует точка \(a\), для которой функция \(f\) имеет два различных предела, скажем, \(L_1\) и \(L_2\), при этом \(L_1 \neq L_2\). ### Доказательство от противного: 1. Предположим, что: \[ \lim_{x \to a} f(x) = L_1, \quad \text{и одновременно} \quad \lim_{x \to a} f(x) = L_2, \] где \(L_1 \neq L_2\). 2. По определению предела, для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta_1 > 0\), такое что для всех \(x\), \[ 0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L_1| < \varepsilon, \] и есть \(\delta_2 > 0\), такое что \[ 0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - L_2| < \varepsilon. \] 3. Выберем \(\varepsilon = \frac{|L_1 - L_2|}{3}\). Так как \(L_1 \neq L_2\), это число положительно. 4. Тогда по определению пределов, найдутся \(\delta_1, \delta_2 > 0\), такие что, для всех \(x\), удовлетворяющих \[ 0 < |x - a| < \delta_1, \quad |f(x) - L_1| < \varepsilon, \] и одновременно \[ 0 < |x - a| < \delta_2, \quad |f(x) - L_2| < \varepsilon. \] 5. Пусть \(\delta = \min(\delta_1, \delta_2)\). Тогда для всех \(x\), при условии \(0 < |x - a| < \delta\), выполняются обе неравенства. 6. Рассмотрим любое такое \(x\). Тогда по треугольному неравенству: \[ |L_1 - L_2| = |(f(x) - L_2) + (L_1 - f(x))| \leq |f(x) - L_2| + |f(x) - L_1| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = \frac{2}{3} |L_1 - L_2|. \] 7. Получается: \[ |L_1 - L_2| < \frac{2}{3} |L_1 - L_2|. \] 8. Но это противоречит тому, что \(L_1 \neq L_2\), ведь тогда \( |L_1 - L_2| > 0\), и не может быть, чтобы оно было строго меньше itself, умноженного на \(\frac{2}{3}\). ### Итог: Противоречие показывает, что гипотеза о существовании двух разных пределов для функции в одной точке неверна. ### **Вывод:** **Функция не может иметь более одного предела в одной точке.** Это — важное свойство пределов: если предел существует, то он единственен.