1. Решите неравенство (4 - x ^ 2)/(2x - 3) > 0
Давайте подробно решим неравенство:
\[ \frac{4 - x^2}{2x - 3} > 0 \]
Шаг 1. Анализируем числитель и знаменатель.
- числитель: \( 4 - x^2 \)
- знаменатель: \( 2x - 3 \)
Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя, т.к. эти точки могут делить числовую ось на промежутки, где знак выражения может меняться.
Нули числителя:
\[ 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \]
Нули знаменателя:
\[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \]
Обратите внимание, что при \( x = \frac{3}{2} \) выражение невозможно (знаменатель равен нулю), получается точка разрыва.
Шаг 3. Построим числовую ось и отметим важные точки:
\[ x = -2,\quad x = \frac{3}{2},\quad x = 2 \]
На каждом из полученных промежутков знак выражения может быть постоянным. Теперь определим знак числителя и знаменателя на каждом промежутке.
Шаг 4. Исследуем знаки:
Для числителя \( 4 - x^2 \):
- положителен, когда \( |x| < 2 \), то есть \( -2 < x < 2 \);
- отрицателен, когда \( x < -2 \) или \( x > 2 \).
Для знаменателя \( 2x - 3 \):
- положителен, когда \( x > \frac{3}{2} \);
- отрицателен, когда \( x < \frac{3}{2} \).
Шаг 5. Таблица знаков:
Рассмотрим каждую из областей, разделённых точками \( -\infty, -2, \frac{3}{2}, 2, +\infty \):
| Интервал | Проверка знака числителя \(|x| < 2\) | Знак числителя | Знак знаменателя | Итоговый знак \(\frac{4 - x^2}{2x - 3}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x < -2\) | \(x < -2\) \(\Rightarrow\) | отрицателен | \(2x - 3\) при \(x<-2\): |
\(-2 \Rightarrow 2*(-2)-3 = -4 -3= -7\) — отрицателен
\(-3\) то есть при \(x < -2\): \(2x -3 < 0\)
| отрицателен (числитель) | отрицателен (знаменатель) | \(\frac{+}{+}\) или \(\frac{-}{-}\)?
\(\frac{(-)}{(-)}= +\) | не подходит, так как не выражает > 0 ?
Нет, в условии \(\frac{4 - x^2}{2x - 3} > 0\), то есть выражение положительно.
При \(x < -2\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен -> деление дает +, то есть выражение положительно.
Значит, интервал \((-\infty, -2)\) подходит.
| \(-2 < x < \frac{3}{2}\) |
\(x\) от \(-2\) до \(\frac{3}{2}\)
числитель \(\) положителен, так как \( |x| < 2 \)
знаменатель: при \( x < \frac{3}{2} \), то есть \(x < 1.5\):
- для \(x \in (-2, 1.5)\), \(2x - 3<0\) (потому что \(2x - 3<0\) при \(x<1.5\))
так что:
числитель: +
знаменатель: -
деление: \(+\div - = -\), то есть выражение отрицательное -> не подходит, так как нужен знак > 0.
| \(\frac{3}{2} < x < 2\) |
числитель: \(\) положителен (так как \(-2 < x < 2\))
знаменатель: \(2x - 3\), при \(x>\frac{3}{2}\), \(2x - 3 > 0\)
деление: \(+\div + = +\), выражение > 0, подходит.
| \(x > 2\) |
числитель: отрицателен, так как \(x>2\), \(4 - x^2 < 0\)
знаменатель: \(2x - 3>0\)
деление: \(- \div + = -\), то есть выражение < 0, не подходит.
Вывод:
- На интервале \((-\infty, -2)\): выражение > 0 — подходит.
- На интервале \(( -2, \frac{3}{2} )\): выражение < 0 — не подходит.
- На интервале \(( \frac{3}{2}, 2 )\): выражение > 0 — подходит.
- На интервале \( (2, +\infty) \): выражение < 0 — не подходит.
Обратите внимание, что в точках, где числитель равен нулю (\(x= \pm 2\)), выражение равно нулю, а не больше нуля, поэтому эти точки не включаются.
Также точка \( x = \frac{3}{2} \) не включается, так как деление на ноль там невозможно.
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Решение: } (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, 2 \right) } \]
Можно записать так:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, 2\right) \]
