1. Решите неравенство (4 - x ^ 2)/(2x - 3) > 0

Давайте подробно решим неравенство: \[ \frac{4 - x^2}{2x - 3} > 0 \] Шаг 1. Анализируем числитель и знаменатель. - числитель: \( 4 - x^2 \) - знаменатель: \( 2x - 3 \) Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя, т.к. эти точки могут делить числовую ось на промежутки, где знак выражения может меняться. **Нули числителя:** \[ 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] **Нули знаменателя:** \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \] Обратите внимание, что при \( x = \frac{3}{2} \) выражение невозможно (знаменатель равен нулю), получается точка разрыва. Шаг 3. Построим числовую ось и отметим важные точки: \[ x = -2,\quad x = \frac{3}{2},\quad x = 2 \] На каждом из полученных промежутков знак выражения может быть постоянным. Теперь определим знак числителя и знаменателя на каждом промежутке. Шаг 4. Исследуем знаки: - Для числителя \( 4 - x^2 \): - положителен, когда \( |x| < 2 \), то есть \( -2 < x < 2 \); - отрицателен, когда \( x < -2 \) или \( x > 2 \). - Для знаменателя \( 2x - 3 \): - положителен, когда \( x > \frac{3}{2} \); - отрицателен, когда \( x < \frac{3}{2} \). Шаг 5. Таблица знаков: Рассмотрим каждую из областей, разделённых точками \( -\infty, -2, \frac{3}{2}, 2, +\infty \): | Интервал | Проверка знака числителя \(|x| < 2\) | Знак числителя | Знак знаменателя | Итоговый знак \(\frac{4 - x^2}{2x - 3}\) | |------------|------------------------------|------------------|------------------|----------------------------------------| | \(x < -2\) | \(x < -2\) \(\Rightarrow\) | отрицателен | \(2x - 3\) при \(x<-2\): \(-2 \Rightarrow 2*(-2)-3 = -4 -3= -7\) — отрицателен \(-3\) то есть при \(x < -2\): \(2x -3 < 0\) | отрицателен (числитель) | отрицателен (знаменатель) | \(\frac{+}{+}\) или \(\frac{-}{-}\)? \(\frac{(-)}{(-)}= +\) | не подходит, так как не выражает \> 0 ? Нет, в условии \(\frac{4 - x^2}{2x - 3} > 0\), то есть выражение положительно. При \(x < -2\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен -> деление дает +, то есть выражение положительно. Значит, интервал \((-\infty, -2)\) подходит. | \(-2 < x < \frac{3}{2}\) | - \(x\) от \(-2\) до \(\frac{3}{2}\) - числитель \(\) положителен, так как \( |x| < 2 \) - знаменатель: при \( x < \frac{3}{2} \), то есть \(x < 1.5\): - для \(x \in (-2, 1.5)\), \(2x - 3<0\) (потому что \(2x - 3<0\) при \(x<1.5\)) - так что: - числитель: + - знаменатель: - - деление: \(+\div - = -\), то есть выражение отрицательное -> не подходит, так как нужен знак > 0. | \(\frac{3}{2} < x < 2\) | - числитель: \(\) положителен (так как \(-2 < x < 2\)) - знаменатель: \(2x - 3\), при \(x>\frac{3}{2}\), \(2x - 3 > 0\) - деление: \(+\div + = +\), выражение > 0, подходит. | \(x > 2\) | - числитель: отрицателен, так как \(x>2\), \(4 - x^2 < 0\) - знаменатель: \(2x - 3>0\) - деление: \(- \div + = -\), то есть выражение < 0, не подходит. --- **Вывод:** - На интервале \((-\infty, -2)\): выражение > 0 — подходит. - На интервале \(( -2, \frac{3}{2} )\): выражение < 0 — не подходит. - На интервале \(( \frac{3}{2}, 2 )\): выражение > 0 — подходит. - На интервале \( (2, +\infty) \): выражение < 0 — не подходит. Обратите внимание, что в точках, где числитель равен нулю (\(x= \pm 2\)), выражение равно нулю, а не больше нуля, поэтому эти точки не включаются. Также точка \( x = \frac{3}{2} \) не включается, так как деление на ноль там невозможно. --- **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Решение: } (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, 2 \right) } \] Можно записать так: \[ x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, 2\right) \]