В задачах 41-60 построить интерполяционный полином Ньютона для функции, заданной таблично. С помощью полученного полинома найти приближѐнное значение функции в точке z.

Задача требует построить интерполяционный полином Ньютона для функции, заданной табличными значениями, и затем найти приближённое значение функции в точке \( z = 12.5 \).

Для этого обычно используют таблицу значений функции для нескольких точек и строят интерполяционный полином, проходящий через эти точки. В данном случае у нас есть значения при \( x = 11, 12, 13, 14 \) и соответствующие значения \( y \).

Шаг 1. Записать исходные данные:

Нам нужно найти приближенное значение \( f(12.5) \).

Шаг 2. Построение таблицы разделённых разностей

Таблица разделённых разностей помогает построить интерполяционный полином Ньютона.

Обозначим:

• \( x_0=11 \), \( y_0=1.0414 \)
• \( x_1=12 \), \( y_1=1.0792 \)
• \( x_2=13 \), \( y_2=1.1139 \)
• \( x_3=14 \), \( y_3=1.1461 \)

Заполняем таблицу разностей:

Первый порядок разностей \( \Delta y \):

\[ \begin{aligned} \Delta y_{0,1} &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{1.0792 - 1.0414}{12 - 11} = \frac{0.0378}{1} = 0.0378 \\ \Delta y_{1,2} &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1.1139 - 1.0792}{13 - 12} = \frac{0.0347}{1} = 0.0347 \\ \Delta y_{2,3} &= \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{1.1461 - 1.1139}{14 - 13} = \frac{0.0322}{1} = 0.0322 \\ \end{aligned} \]

Второй порядок разностей \( \Delta^2 y \):

\[ \begin{aligned} \Delta^2 y_{0,1} &= \frac{\Delta y_{1,2} - \Delta y_{0,1}}{x_2 - x_0} = \frac{0.0347 - 0.0378}{13 - 11} = \frac{-0.0031}{2} = -0.00155 \\ \Delta^2 y_{1,2} &= \frac{\Delta y_{2,3} - \Delta y_{1,2}}{x_3 - x_1} = \frac{0.0322 - 0.0347}{14 - 12} = \frac{-0.0025}{2} = -0.00125 \\ \end{aligned} \]

Третий порядок разностей \( \Delta^3 y \):

\[ \begin{aligned} \Delta^3 y_{0} &= \frac{\Delta^2 y_{1,2} - \Delta^2 y_{0,1}}{x_3 - x_0} = \frac{-0.00125 - (-0.00155)}{14 - 11} = \frac{0.0003}{3} = 0.0001 \\ \end{aligned} \]

Шаг 3. Построение интерполяционного полинома Ньютона

Полином в виде Ньютона:

\[ P(x) = y_0 + \Delta y_{0,1}(x - x_0) + \frac{\Delta^2 y_{0,1}}{2!}(x - x_0)(x - x_1) + \frac{\Delta^3 y_{0}}{3!}(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \]

Подставляем найденные разности:

\[ \begin{aligned} P(x) &= 1.0414 + 0.0378(x - 11) + \frac{-0.00155}{2}(x - 11)(x - 12) + \frac{0.0001}{6}(x - 11)(x - 12)(x - 13) \end{aligned} \]

Шаг 4. Вычисление \( P(12.5) \)

\[ \begin{aligned} x &= 12.5 \\ x - 11 &= 1.5 \\ x - 12 &= 0.5 \\ x - 13 &= -0.5 \\ \end{aligned} \]

Подставим в выражение:

\[ \begin{aligned} P(12.5) &= 1.0414 + 0.0378 \times 1.5 + \frac{-0.00155}{2} \times 1.5 \times 0.5 + \frac{0.0001}{6} \times 1.5 \times 0.5 \times (-0.5) \end{aligned} \]

Вычислим по порядку:

• \( 0.0378 \times 1.5 = 0.0567 \)
• \( \frac{-0.00155}{2} = -0.000775 \), и \( 1.5 \times 0.5 = 0.75 \), так что: \( -0.000775 \times 0.75 = -0.00058125 \)
• \( \frac{0.0001}{6} \approx 0.0000167 \), и \( 1.5 \times 0.5 \times (-0.5) = -0.375 \), так что: \( 0.0000167 \times (-0.375) \approx -6.25 \times 10^{-6} \)

Теперь суммируем:

\[ \begin{aligned} P(12.5) &= 1.0414 + 0.0567 - 0.00058125 - 0.00000625 \\ &\approx 1.0414 + 0.0567 - 0.00058125 - 0.00000625 \\ &\approx 1.0981 - 0.0005875 \\ &\approx 1.0975 \end{aligned} \]

Ответ:

Приблизительное значение функции в точке \( z=12.5 \) равно 1.0975.