В ящике лежит 7 пар длинных носков и 3 пары коротких. Александр случайно достаёт 6 пар. Найдите вероятность того, что среди них 3 пары коротких.
Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг.
Задача:
В ящике лежит 7 пар длинных носков и 3 пары коротких. В сумме — 10 пар носков. Александр случайно достаёт 6 пар. Нужно найти вероятность, что среди них окажется ровно 3 пары коротких.
Шаг 1. Определим, что у нас есть:
- Длинных носков: 7 пар
- Коротких носков: 3 пары
- Всего носков: 10 пар = 14 носков (по две вещи в паре)
Но так как пар — это две вещи, и мы случайным образом выбираем пар, то при подсчёте вероятности нам удобно говорить о выбранных парах. В условии говорится, что Александр выбирает 6 пар.
Следовательно, вероятность ищем среди выбора пар, а не отдельных носков.
Шаг 2. Построение вероятности
Нам нужно найти вероятность, что выбранные 6 пар содержат ровно 3 короткие пары.
Обозначим:
- Всего пар: 10 (7 длинных + 3 коротких)
- Нужно выбрать 6 пар так, чтобы:
- из 3 коротких — ровно 3 (значит все короткие в выборе)
- из 7 длинных — 3 (так как всего выбранных пар 6, и 3 из них короткие, значит остальные 3 — длинные)
Шаг 3. Вычисление числителя — число благоприятных случаев
Благоприятные случаи — это ситуация, когда:
- все 3 короткие пары выбраны (это обязательно, чтобы у нас было ровно 3 короткие)
- дополнительно выбираются 3 пар из длинных (или, иначе говоря, из 7 длинных пар)
Количество способов выбрать 3 коротких пар из 3 — это:
\[ \binom{3}{3} = 1 \]
(только один способ выбрать все 3 коротких).
Количество способов выбрать 3 длинных из 7:
\[ \binom{7}{3} \]
Вычислим это число:
\[ \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]
Общее число благоприятных исходов:
\[ \boxed{ N_{\text{благ}} = \binom{3}{3} \times \binom{7}{3} = 1 \times 35 = 35 } \]
Шаг 4. Общие случаи — число всех возможных способов выбрать 6 пар из 10
Общее количество способов выбрать любые 6 пар из 10:
\[ \binom{10}{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
или проще:
\[ \binom{10}{6} = \binom{10}{4} \quad (\text{так как } \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}) \]
Вычислим \(\binom{10}{4}\):
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Шаг 5. Нахождение вероятности
Вероятность равна отношению числа благоприятных случаев к общему числу случаев:
\[ P = \frac{N_{\text{благ}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Вероятность того, что среди выбранных 6 пар будет ровно 3 короткие} = \frac{1}{6} } \]
Если есть вопросы или нужно подробнее о каком-то конкретном шаге — спрашивайте!
