В ящике лежит 7 пар длинных носков и 3 пары коротких. Александр случайно достаёт 6 пар. Найдите вероятность того, что среди них 3 пары коротких.

Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг. **Задача:** В ящике лежит 7 пар длинных носков и 3 пары коротких. В сумме — 10 пар носков. Александр случайно достаёт 6 пар. Нужно найти вероятность, что среди них окажется ровно 3 пары коротких. --- ### Шаг 1. Определим, что у нас есть: - **Длинных носков:** 7 пар - **Коротких носков:** 3 пары - **Всего носков:** 10 пар = 14 носков (по две вещи в паре) Но так как пар — это две вещи, и мы случайным образом выбираем пар, то при подсчёте вероятности нам удобно говорить о выбранных **парах**. В условии говорится, что Александр выбирает **6 пар**. Следовательно, вероятность ищем среди **выбора пар**, а не отдельных носков. --- ### Шаг 2. Построение вероятности Нам нужно найти вероятность, что выбранные 6 пар содержат **ровно 3 короткие пары**. Обозначим: - Всего пар: 10 (7 длинных + 3 коротких) - Нужно выбрать 6 пар так, чтобы: - из 3 коротких — ровно 3 (значит все короткие в выборе) - из 7 длинных — 3 (так как всего выбранных пар 6, и 3 из них короткие, значит остальные 3 — длинные) --- ### Шаг 3. Вычисление числителя — число благоприятных случаев Благоприятные случаи — это ситуация, когда: - все 3 короткие пары выбраны (это обязательно, чтобы у нас было ровно 3 короткие) - дополнительно выбираются 3 пар из длинных (или, иначе говоря, из 7 длинных пар) Количество способов выбрать 3 коротких пар из 3 — это: \[ \binom{3}{3} = 1 \] (только один способ выбрать все 3 коротких). Количество способов выбрать 3 длинных из 7: \[ \binom{7}{3} \] Вычислим это число: \[ \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] Общее число благоприятных исходов: \[ \boxed{ N_{\text{благ}} = \binom{3}{3} \times \binom{7}{3} = 1 \times 35 = 35 } \] --- ### Шаг 4. Общие случаи — число всех возможных способов выбрать 6 пар из 10 Общее количество способов выбрать любые 6 пар из 10: \[ \binom{10}{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] или проще: \[ \binom{10}{6} = \binom{10}{4} \quad (\text{так как } \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}) \] Вычислим \(\binom{10}{4}\): \[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \] --- ### Шаг 5. Нахождение вероятности Вероятность равна отношению числа благоприятных случаев к общему числу случаев: \[ P = \frac{N_{\text{благ}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Вероятность того, что среди выбранных 6 пар будет ровно 3 короткие} = \frac{1}{6} } \] Если есть вопросы или нужно подробнее о каком-то конкретном шаге — спрашивайте!