Векторы р и q взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины - 5 см. Определите скалярное произведение векторов а и b , которые выражены следующим образом: d = 3p - 4q; b = 7p +…

Давайте поэтапно решим задачу.

Дано:

• Векторы \( p \) и \( q \) взаимно перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю: \( p \cdot q = 0 \).
• Длина каждого из них равна 5 см: \( |p| = |q| = 5 \).
• Векторы \( a \) и \( b \) выражены через \( p \) и \( q \): \[ d = 3p - 4q, \quad b = 7p + 4q. \]
• Нужно найти скалярное произведение \( a \) и \( b \).

Обратите внимание, в условии есть формула для \( d \), однако далее в условии говорится о \( b \) и нужно найти \( a \cdось \( a \), но его выражение не указано явно; похоже, опечатка, и на самом деле нужно найти скалярное произведение \( d \) и \( b \).

Поскольку в конце в вопросе указано: "Ответ: b" и "Число", предполагается, что нужно найти \( d \cdot b \).

Пожалуйста, давайте все-таки предположим, что задание — найти скалярное произведение \( d \) и \( b \):

Шаг 1: Найти \( d \cdot b \)

Выражения: \[ d = 3p - 4q,\quad b = 7p + 4q. \]

Скалярное произведение: \[ d \cdot b = (3p - 4q) \cdot (7p + 4q). \]

Раскроем скобки, помня свойства скалярного произведения:

\[ d \cdot b = 3p \cdot 7p + 3p \cdot 4q - 4q \cdot 7p - 4q \cdot 4q. \]

Запишем отдельно каждое слагаемое:

• \( 3p \cdot 7p = 21 (p \cdot p) \),
• \( 3p \cdot 4q = 12 (p \cdot q) \),
• \( -4q \cdot 7p = -28 (q \cdot p) \),
• \( -4q \cdot 4q = -16 (q \cdot q) \).

Имейте в виду:

• \( p \cdot q = 0 \) (так как \textbf{векторы перпендикулярны}),
• \( p \cdot p = |p|^2 = 5^2 = 25 \),
• \( q \cdot q = |q|^2 = 25 \).

Значит, получается:

\[ d \cdot b = 21 \times 25 + 12 \times 0 - 28 \times 0 - 16 \times 25 = 21 \times 25 - 16 \times 25. \]

Вычислим: \[ 21 \times 25 = 525, \] \[ 16 \times 25 = 400. \]

Следовательно:

\[ d \cdot b = 525 - 400 = 125. \]

Ответ:

\[ \boxed{125} \]

Если в задаче нужно было найти именно скалярное произведение данных векторов, то ответ — 125.

Если нужно было найти что-то другое, например, скалярное произведение \( a \) и \( b \), то нужно было бы уточнить выражение для \( a \). Но поскольку в условии последний акцент на \( b \), считаю, что искомый ответ — это числовое значение скалярного произведения, равно 125.