Давайте поэтапно решим задачу.
Дано:
- Векторы ( p ) и ( q ) взаимно перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю: ( p \cdot q = 0 ).
- Длина каждого из них равна 5 см: ( |p| = |q| = 5 ).
- Векторы ( a ) и ( b ) выражены через ( p ) и ( q ):
[
d = 3p - 4q, \quad b = 7p + 4q.
]
- Нужно найти скалярное произведение ( a ) и ( b ).
Обратите внимание, в условии есть формула для ( d ), однако далее в условии говорится о ( b ) и нужно найти ( a \cdось ( a ), но его выражение не указано явно; похоже, опечатка, и на самом деле нужно найти скалярное произведение ( d ) и ( b ).
Поскольку в конце в вопросе указано: "Ответ: b" и "Число", предполагается, что нужно найти ( d \cdot b ).
Пожалуйста, давайте все-таки предположим, что задание — найти скалярное произведение ( d ) и ( b ):
Шаг 1: Найти ( d \cdot b )
Выражения:
[
d = 3p - 4q,\quad b = 7p + 4q.
]
Скалярное произведение:
[
d \cdot b = (3p - 4q) \cdot (7p + 4q).
]
Раскроем скобки, помня свойства скалярного произведения:
[
d \cdot b = 3p \cdot 7p + 3p \cdot 4q - 4q \cdot 7p - 4q \cdot 4q.
]
Запишем отдельно каждое слагаемое:
- ( 3p \cdot 7p = 21 (p \cdot p) ),
- ( 3p \cdot 4q = 12 (p \cdot q) ),
- ( -4q \cdot 7p = -28 (q \cdot p) ),
- ( -4q \cdot 4q = -16 (q \cdot q) ).
Имейте в виду:
- ( p \cdot q = 0 ) (так как \textbf{векторы перпендикулярны}),
- ( p \cdot p = |p|^2 = 5^2 = 25 ),
- ( q \cdot q = |q|^2 = 25 ).
Значит, получается:
[
d \cdot b = 21 \times 25 + 12 \times 0 - 28 \times 0 - 16 \times 25 = 21 \times 25 - 16 \times 25.
]
Вычислим:
[
21 \times 25 = 525,
]
[
16 \times 25 = 400.
]
Следовательно:
[
d \cdot b = 525 - 400 = 125.
]
Ответ:
[
\boxed{125}
]
Если в задаче нужно было найти именно скалярное произведение данных векторов, то ответ — 125.
Если нужно было найти что-то другое, например, скалярное произведение ( a ) и ( b ), то нужно было бы уточнить выражение для ( a ). Но поскольку в условии последний акцент на ( b ), считаю, что искомый ответ — это числовое значение скалярного произведения, равно 125.
