Давайте подробно проанализируем задачу и найдем ответ.
Дано:
- Векторы p и q взаимно перпендикулярны (их скалярное произведение равно 0).
- Длина каждого вектора p и q равна 5 см.
- Вектор d выражен как: ( d = 3p - 4q ).
- Вектор b выражен как: ( b = 7p + 4q ).
Цель:
Найти скалярное произведение (\ a \cdot b ).
Шаг 1. Используем свойства скалярного произведения
- Взаимно перпендикулярные векторы ( p ) и ( q ):
[
p \cdot q = 0
]
[
|p| = |q| = 5
]
[
p \cdot p = |p|^2 = 25
]
[
q \cdot q = |q|^2 = 25
]
Шаг 2. Запишем скалярное произведение (a \cdot b )
Нам нужно найти:
[
a \cdot b
]
где:
[
a \quad \text{(переменная, предположительно, также выражается через } p \text{ и } q)
]
Из условия не дано явно вектор (a), вероятно, в условии речь о (d), так как есть выражение (d = 3p - 4q), или (a) — это некая еще разъясненная переменная. Но если исходить из стандартных задач, скорее всего, имелось в виду найти (d \cdot b).
Шаг 3. Предположим, что у нас вопрос: найти ( d \cdot b )
Поскольку (d = 3p - 4q), и (b = 7p + 4q), то:
[
d \cdot b = (3p - 4q) \cdot (7p + 4q)
]
Шаг 4. Раскроем скалярное произведение по свойствам дистрибутивности:
[
d \cdot b = 3p \cdot 7p + 3p \cdot 4q - 4q \cdot 7p - 4q \cdot 4q
]
Используем (p \cdot q = 0):
[
d \cdot b = 21 (p \cdot p) + 12 (p \cdot q) - 28 (q \cdot p) - 16 (q \cdot q)
]
Поскольку (p \cdot q = q \cdot p = 0):
[
d \cdot b = 21 (p \cdot p) - 16 (q \cdot q)
]
Подставляем значения:
[
p \cdot p = 25, \quad q \cdot q = 25
]
так что:
[
d \cdot b = 21 \times 25 - 16 \times 25 = (21 - 16) \times 25 = 5 \times 25 = 125
]
Ответ:
[
\boxed{125}
]
Если я правильно понял, вам нужно было найти скалярное произведение векторов (a) и (b), причем, предполагая, что (a) — это (d). В этом случае ответ — 125.
Если условие было иное или нужен другой расчет — уточните, и я помогу!
