Векторы р и q взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины - 5 см. Определите скалярное произведение векторов а и b , которые выражены следующим образом: d = 3p - 4q; b = 7p +…

Давайте подробно проанализируем задачу и найдем ответ.

Дано:

• Векторы p и q взаимно перпендикулярны (их скалярное произведение равно 0).
• Длина каждого вектора p и q равна 5 см.
• Вектор d выражен как: \( d = 3p - 4q \).
• Вектор b выражен как: \( b = 7p + 4q \).

Цель: Найти скалярное произведение \(\ a \cdot b \).

---

Шаг 1. Используем свойства скалярного произведения

• Взаимно перпендикулярные векторы \( p \) и \( q \):

\[ p \cdot q = 0 \]

• Модули (длины) векторов:

\[ |p| = |q| = 5 \]

• Из этого следует:

\[ p \cdot p = |p|^2 = 25 \] \[ q \cdot q = |q|^2 = 25 \]

---

Шаг 2. Запишем скалярное произведение \(a \cdot b \)

Нам нужно найти:

\[ a \cdot b \]

где:

\[ a \quad \text{(переменная, предположительно, также выражается через } p \text{ и } q) \]

Из условия не дано явно вектор \(a\), вероятно, в условии речь о \(d\), так как есть выражение \(d = 3p - 4q\), или \(a\) — это некая еще разъясненная переменная. Но если исходить из стандартных задач, скорее всего, имелось в виду найти \(d \cdot b\).

---

Шаг 3. Предположим, что у нас вопрос: найти \( d \cdot b \)

Поскольку \(d = 3p - 4q\), и \(b = 7p + 4q\), то:

\[ d \cdot b = (3p - 4q) \cdot (7p + 4q) \]

---

Шаг 4. Раскроем скалярное произведение по свойствам дистрибутивности:

\[ d \cdot b = 3p \cdot 7p + 3p \cdot 4q - 4q \cdot 7p - 4q \cdot 4q \]

Используем \(p \cdot q = 0\):

\[ d \cdot b = 21 (p \cdot p) + 12 (p \cdot q) - 28 (q \cdot p) - 16 (q \cdot q) \]

Поскольку \(p \cdot q = q \cdot p = 0\):

\[ d \cdot b = 21 (p \cdot p) - 16 (q \cdot q) \]

Подставляем значения:

\[ p \cdot p = 25, \quad q \cdot q = 25 \]

так что:

\[ d \cdot b = 21 \times 25 - 16 \times 25 = (21 - 16) \times 25 = 5 \times 25 = 125 \]

---

Ответ:

\[ \boxed{125} \]

---

Если я правильно понял, вам нужно было найти скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), причем, предполагая, что \(a\) — это \(d\). В этом случае ответ — 125.

Если условие было иное или нужен другой расчет — уточните, и я помогу!