1. Покажите, что функция F(x) = 2l ^ (2x) + 2x ^ 3 + sin x + 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x) = 4l ^ (2x) + 6x ^ 2 + cos x .

Давайте разберёмся, как показать, что функция \( F(x) = 2 \ln^{(2x)} + 2x^3 + \sin x + 1 \) является первообразной для функции \( f(x) = 4 \ln^{(2x)} + 6x^2 + \cos x \). Предположим, что в вашем задании есть опечатки и что \( \ln^{(2x)} \) означает выражение, связанное с натуральным логарифмом, например, \( (\ln x)^2 \) или \( \ln(2x) \). Итак, я сделаю предположение, что: \[ F(x) = 2(\ln(2x))^2 + 2x^3 + \sin x + 1 \] А функция: \[ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) \] тогда нам нужно проверить, соответствует ли производная \( F'(x) \) функции \( f(x) \). --- ### Шаг 1: Обозначение функции \( F(x) \) Пусть: \[ F(x) = 2 (\ln(2x))^2 + 2x^3 + \sin x + 1 \] Тогда: - Первые слагаемые — сложные, требуют применения правил дифференцирования. - Остальные — стандартные функции. --- ### Шаг 2: Дифференцируем \( F(x) \) Найдем \( F'(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 2 (\ln(2x))^2 \right] + \frac{d}{dx} (2x^3) + \frac{d}{dx} (\sin x) + \frac{d}{dx} (1) \] Рассмотрим каждый член по отдельности. --- ### Шаг 3: Дифференцируем \( 2 (\ln(2x))^2 \) Используем цепное правило: \[ \frac{d}{dx} [(\ln(2x))^2] = 2 \ln(2x) \cdot \frac{d}{dx} (\ln(2x)) \] Далее, найдём производную \( \ln(2x) \): \[ \frac{d}{dx} \ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} \] Итак, \[ \frac{d}{dx} [(\ln(2x))^2] = 2 \ln(2x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln(2x)}{x} \] Теперь, учитываем множитель 2: \[ \frac{d}{dx} \left[ 2 (\ln(2x))^2 \right] = 2 \times \frac{2 \ln(2x)}{x} = \frac{4 \ln(2x)}{x} \] --- ### Шаг 4: Дифференцируем остальные члены - \( \frac{d}{dx} (2x^3) = 6x^2 \) - \( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \) - \( \frac{d}{dx} (1) = 0 \) --- ### Шаг 5: Итоговая производная \( F'(x) \) Объединяя все части, получаем: \[ F'(x) = \frac{4 \ln(2x)}{x} + 6x^2 + \cos x \] --- ### Шаг 6: Сравним \( F'(x) \) с функцией \( f(x) \) Если по условию \( f(x) = 4 \ln(2x) / x + 6x^2 + \cos x \), то: \[ f(x) = F'(x) \] Это подтверждает, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \) на области, где все выражения определены (например, \( x > 0 \), чтобы логарифм был определён). --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Функция } F(x) = 2 (\ln(2x))^2 + 2x^3 + \sin x + 1 \text{ является первообразной для} \quad f(x) = \frac{4 \ln(2x)}{x} + 6x^2 + \cos x } \] Если в условии используются иные обозначения или формат, уточните, и я помогу скорректировать решение!