1. Покажите, что функция F(x) = 2l ^ (2x) + 2x ^ 3 + sin x + 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x) = 4l ^ (2x) + 6x ^ 2 + cos x .
Давайте разберёмся, как показать, что функция \( F(x) = 2 \ln^{(2x)} + 2x^3 + \sin x + 1 \) является первообразной для функции \( f(x) = 4 \ln^{(2x)} + 6x^2 + \cos x \). Предположим, что в вашем задании есть опечатки и что \( \ln^{(2x)} \) означает выражение, связанное с натуральным логарифмом, например, \( (\ln x)^2 \) или \( \ln(2x) \). Итак, я сделаю предположение, что:
\[ F(x) = 2(\ln(2x))^2 + 2x^3 + \sin x + 1 \]
А функция:
\[ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) \]
тогда нам нужно проверить, соответствует ли производная \( F'(x) \) функции \( f(x) \).
Шаг 1: Обозначение функции \( F(x) \)
Пусть:
\[ F(x) = 2 (\ln(2x))^2 + 2x^3 + \sin x + 1 \]
Тогда:
- Первые слагаемые — сложные, требуют применения правил дифференцирования.
- Остальные — стандартные функции.
Шаг 2: Дифференцируем \( F(x) \)
Найдем \( F'(x) \):
\[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 2 (\ln(2x))^2 \right] + \frac{d}{dx} (2x^3) + \frac{d}{dx} (\sin x) + \frac{d}{dx} (1) \]
Рассмотрим каждый член по отдельности.
Шаг 3: Дифференцируем \( 2 (\ln(2x))^2 \)
Используем цепное правило:
\[ \frac{d}{dx} [(\ln(2x))^2] = 2 \ln(2x) \cdot \frac{d}{dx} (\ln(2x)) \]
Далее, найдём производную \( \ln(2x) \):
\[ \frac{d}{dx} \ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} \]
Итак,
\[ \frac{d}{dx} [(\ln(2x))^2] = 2 \ln(2x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln(2x)}{x} \]
Теперь, учитываем множитель 2:
\[ \frac{d}{dx} \left[ 2 (\ln(2x))^2 \right] = 2 \times \frac{2 \ln(2x)}{x} = \frac{4 \ln(2x)}{x} \]
Шаг 4: Дифференцируем остальные члены
- \( \frac{d}{dx} (2x^3) = 6x^2 \)
- \( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \)
- \( \frac{d}{dx} (1) = 0 \)
Шаг 5: Итоговая производная \( F'(x) \)
Объединяя все части, получаем:
\[ F'(x) = \frac{4 \ln(2x)}{x} + 6x^2 + \cos x \]
Шаг 6: Сравним \( F'(x) \) с функцией \( f(x) \)
Если по условию \( f(x) = 4 \ln(2x) / x + 6x^2 + \cos x \), то:
\[ f(x) = F'(x) \]
Это подтверждает, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \) на области, где все выражения определены (например, \( x > 0 \), чтобы логарифм был определён).
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Функция } F(x) = 2 (\ln(2x))^2 + 2x^3 + \sin x + 1 \text{ является первообразной для} \quad f(x) = \frac{4 \ln(2x)}{x} + 6x^2 + \cos x } \]
Если в условии используются иные обозначения или формат, уточните, и я помогу скорректировать решение!
