Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной y=3-2x и y=x в квадрате +3х-3
Давайте внимательно разберёмся с задачей: нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми:
- \( y = 3 - 2x \)
- \( y = x^2 + 3x - 3 \)
Шаг 1: Найти точки пересечения кривых
Чтобы определить границы области интегрирования, нужно найти точки, где эти две функции равны:
\[ 3 - 2x = x^2 + 3x - 3 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 0 = x^2 + 3x - 3 - 3 + 2x \]
Объединим подобные члены:
\[ 0 = x^2 + (3x + 2x) - 6 \] \[ 0 = x^2 + 5x - 6 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 + 5x - 6=0 \]
Используем формулу:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=1, b=5, c=-6\):
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} \]
\[ x = \frac{-5 \pm 7}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \( x = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
- \( x = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
Шаг 2: Найти точки пересечения
Подставим эти \(x\) в одну из кривых, чтобы получить соответствующие \(y\):
- Для \(x=1\):
\[ y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \]
или
\[ y = (1)^2 + 3(1) - 3 = 1 + 3 - 3= 1 \]
(Совпадает, всё правильно)
- Для \(x=-6\):
\[ y= 3 - 2(-6)=3 + 12=15 \]
или
\[ (-6)^2 + 3(-6) -3=36 - 18 - 3=15 \]
Результат одинаковый, значит точки пересечения —
\[ (-6,15) \quad \text{и} \quad (1,1) \]
Шаг 3: Построение и вычисление площади
Область ограничена двумя кривыми, и чтобы найти площадь между ними, нужно взять интеграл разницы функций:
\[ \text{Площадь} = \int_{x=-6}^{x=1} [\text{верхняя кривая} - \text{нижняя кривая}]\, dx \]
Определим, какая кривая сверху, а какая снизу. Посмотрим на диапазон:
- для \(x = -6\):
\[ y_{1} = 3 - 2(-6) = 15 \] \[ y_{2} = (-6)^2 + 3(-6) - 3= 15 \]
- для \(x=1\):
\[ y_{1} = 3 - 2(1)= 1 \] \[ y_{2} = 1 \]
Значит, в интервале от \(-6\) до \(1\), график \( y = 3 - 2x \) находится выше или равен \( y = x^2 + 3x - 3 \). Определим, какая кривая действительно больше в этом диапазоне:
Проверим середину, например в точке \(x=0\):
\[ y_{1} = 3 - 0 = 3 \] \[ y_{2} = 0 + 0 - 3 = -3 \]
значит, везде \( y=3-2x \) выше.
Шаг 4: Вычисление интеграла
Итак, площадь:
\[ S = \int_{-6}^{1} [(3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)]\, dx \]
Рассмотрим внутри скобок подробнее:
\[ (3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3) = 3 - 2x - x^2 - 3x + 3 \]
Объединим члены:
\[ = (3 + 3) - 2x - 3x - x^2 = 6 - 5x - x^2 \]
Теперь, интегрируем:
\[ S = \int_{-6}^1 (6 - 5x - x^2)\, dx \]
Разделим на три интеграла:
\[ S= \int_{-6}^1 6\, dx - 5 \int_{-6}^1 x\, dx - \int_{-6}^1 x^2\, dx \]
Посчитаем каждое:
\(\int 6\, dx = 6x\)
\(\int x\, dx = \frac{x^2}{2}\)
\(\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3}\)
Шаг 5: Подставим пределы
- Первое:
\[ 6x \big|_{-6}^{1} = 6(1) - 6(-6) = 6 + 36=42 \]
- Второе:
\[ -5 \cdot \frac{x^2}{2} \big|_{-6}^{1} = -\frac{5}{2} (1^2 - (-6)^2) = -\frac{5}{2}(1 - 36) = -\frac{5}{2}(-35) = \frac{5}{2} \times 35= \frac{175}{2} =87.5 \]
- Третье:
\[ - \frac{x^3}{3} \big|_{-6}^{1} = - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-6)^3}{3}\right) = - \left(\frac{1}{3} - \frac{-216}{3}\right)= - \left(\frac{1}{3} + 72\right) \]
\[ = -\left(\frac{1 + 216}{3}\right)= -\left(\frac{217}{3}\right)=-\frac{217}{3} \]
Шаг 6: Итоговая площадь
Теперь сложим все значения:
\[ S = 42 + 87.5 - \frac{217}{3} \]
Запишем в виде дроби:
\[ 42 = \frac{126}{3} \] \[ 87.5 = \frac{175}{2} = \frac{525}{6} = \frac{262.5}{3} \]
Чтобы сложить все, приведем к общему знаменателю 6:
\[ \frac{126}{3} = \frac{252}{6} \] \[ 87.5 = \frac{525}{6} \] \[ -\frac{217}{3} = -\frac{434}{6} \]
Теперь сумма:
\[ S = \frac{252}{6} + \frac{525}{6} - \frac{434}{6} = \frac{252 + 525 - 434}{6} = \frac{343}{6} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{343}{6}} \]
или примерно 57.17.
Итог:
Площадь области между кривыми равна \(\frac{343}{6}\).
