Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной y=3-2x и y=x в квадрате +3х-3

Давайте внимательно разберёмся с задачей: нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми: 1. \( y = 3 - 2x \) 2. \( y = x^2 + 3x - 3 \) --- ### Шаг 1: Найти точки пересечения кривых Чтобы определить границы области интегрирования, нужно найти точки, где эти две функции равны: \[ 3 - 2x = x^2 + 3x - 3 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 0 = x^2 + 3x - 3 - 3 + 2x \] Объединим подобные члены: \[ 0 = x^2 + (3x + 2x) - 6 \] \[ 0 = x^2 + 5x - 6 \] Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + 5x - 6=0 \] Используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1, b=5, c=-6\): \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Рассмотрим оба варианта: - \( x = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) - \( x = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \) ### Шаг 2: Найти точки пересечения Подставим эти \(x\) в одну из кривых, чтобы получить соответствующие \(y\): - Для \(x=1\): \[ y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \] или \[ y = (1)^2 + 3(1) - 3 = 1 + 3 - 3= 1 \] (Совпадает, всё правильно) - Для \(x=-6\): \[ y= 3 - 2(-6)=3 + 12=15 \] или \[ (-6)^2 + 3(-6) -3=36 - 18 - 3=15 \] Результат одинаковый, значит точки пересечения — \[ (-6,15) \quad \text{и} \quad (1,1) \] --- ### Шаг 3: Построение и вычисление площади Область ограничена двумя кривыми, и чтобы найти площадь между ними, нужно взять интеграл разницы функций: \[ \text{Площадь} = \int_{x=-6}^{x=1} [\text{верхняя кривая} - \text{нижняя кривая}]\, dx \] Определим, какая кривая сверху, а какая снизу. Посмотрим на диапазон: - для \(x = -6\): \[ y_{1} = 3 - 2(-6) = 15 \] \[ y_{2} = (-6)^2 + 3(-6) - 3= 15 \] - для \(x=1\): \[ y_{1} = 3 - 2(1)= 1 \] \[ y_{2} = 1 \] Значит, в интервале от \(-6\) до \(1\), график \( y = 3 - 2x \) находится выше или равен \( y = x^2 + 3x - 3 \). Определим, какая кривая действительно больше в этом диапазоне: Проверим середину, например в точке \(x=0\): \[ y_{1} = 3 - 0 = 3 \] \[ y_{2} = 0 + 0 - 3 = -3 \] значит, везде \( y=3-2x \) выше. --- ### Шаг 4: Вычисление интеграла Итак, площадь: \[ S = \int_{-6}^{1} [(3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)]\, dx \] Рассмотрим внутри скобок подробнее: \[ (3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3) = 3 - 2x - x^2 - 3x + 3 \] Объединим члены: \[ = (3 + 3) - 2x - 3x - x^2 = 6 - 5x - x^2 \] Теперь, интегрируем: \[ S = \int_{-6}^1 (6 - 5x - x^2)\, dx \] Разделим на три интеграла: \[ S= \int_{-6}^1 6\, dx - 5 \int_{-6}^1 x\, dx - \int_{-6}^1 x^2\, dx \] Посчитаем каждое: 1. \(\int 6\, dx = 6x\) 2. \(\int x\, dx = \frac{x^2}{2}\) 3. \(\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3}\) --- ### Шаг 5: Подставим пределы - Первое: \[ 6x \big|_{-6}^{1} = 6(1) - 6(-6) = 6 + 36=42 \] - Второе: \[ -5 \cdot \frac{x^2}{2} \big|_{-6}^{1} = -\frac{5}{2} (1^2 - (-6)^2) = -\frac{5}{2}(1 - 36) = -\frac{5}{2}(-35) = \frac{5}{2} \times 35= \frac{175}{2} =87.5 \] - Третье: \[ - \frac{x^3}{3} \big|_{-6}^{1} = - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-6)^3}{3}\right) = - \left(\frac{1}{3} - \frac{-216}{3}\right)= - \left(\frac{1}{3} + 72\right) \] \[ = -\left(\frac{1 + 216}{3}\right)= -\left(\frac{217}{3}\right)=-\frac{217}{3} \] --- ### Шаг 6: Итоговая площадь Теперь сложим все значения: \[ S = 42 + 87.5 - \frac{217}{3} \] Запишем в виде дроби: \[ 42 = \frac{126}{3} \] \[ 87.5 = \frac{175}{2} = \frac{525}{6} = \frac{262.5}{3} \] Чтобы сложить все, приведем к общему знаменателю 6: \[ \frac{126}{3} = \frac{252}{6} \] \[ 87.5 = \frac{525}{6} \] \[ -\frac{217}{3} = -\frac{434}{6} \] Теперь сумма: \[ S = \frac{252}{6} + \frac{525}{6} - \frac{434}{6} = \frac{252 + 525 - 434}{6} = \frac{343}{6} \] Ответ: \[ \boxed{\frac{343}{6}} \] или примерно 57.17. --- ### Итог: **Площадь области между кривыми равна \(\frac{343}{6}\).**