log1/3x<2
Давайте разберём неравенство: \(\log_{1/3} x < 2\).
Шаг 1: Понимание логарифма.
- \(\log_{a} b\) — логарифм числа \(b\) по основанию \(a\).
- В нашем случае: основание \(a = 1/3\).
Важно помнить, что:
- Основание логарифма должно быть положительным и не равно 1.
- В данном случае: \(a = 1/3\), это правильно, так как \(1/3 > 0\) и \(1/3 \neq 1\).
Шаг 2: Разбор свойства логарифма с основанием меньше 1.
- Логарифм с основанием меньшим 1 является убывающей функцией: при увеличении \(x\) значение \(\log_{1/3} x\) уменьшается.
Шаг 3: Решение неравенства.
Запишем неравенство:
\[ \log_{1/3} x < 2 \]
Чтобы избавиться от логарифма, выразим \(x\) через экспоненцирование:
\[ x < (1/3)^2 \]
Это происходит потому, что:
\[ \log_{a} x < y \iff x < a^y, \quad \text{если } a > 1 \]
НО! В случае, когда \(a < 1\), неравенство меняет знак при выражении:
\[ \log_{a} x < y \iff x > a^y \]
Объяснение: логарифм — убывающая функция при основании меньше 1.
Итак, так как основание \(\frac{1}{3}\) — меньше 1, то:
\[ \log_{1/3} x < 2 \iff x > (1/3)^2 \]
Шаг 4: Вычисление \((1/3)^2\):
\[ (1/3)^2 = 1/9 \]
Ответ:
\[ x > \frac{1}{9} \]
Шаг 5: Учитываем область определения.
- Логарифм определён при \(x > 0\).
Объединяя условия:
\[ x > \frac{1}{9} \]
при этом, \(x > 0\) — всегда выполняется при \(x > 1/9\).
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x > \frac{1}{9} } \]
Это и есть решение неравенства.
