|х²-10х+21/х²-12х+32|=- х²-10х+21/х²-12х+32

Давайте разберёмся с этой задачей по шагам, так как она кажется достаточно сложной и включает алгебраические выражения и абсолютное значение.

Задача: \[ \left| \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \right| = - \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \]

Шаг 1. Запишем условие подробнее.

Обозначим: \[ f(x) = \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \]

Тогда условие:

\[ |f(x)| = -f(x) \]

Обратите внимание, что модуль равен отрицательной функции. Что это означает?

---

Шаг 2. Рассмотрим свойства.

Известно, что:

• Модуль числа всегда неотрицателен: \(|f(x)| \ge 0\).
• Тогда равенство \(|f(x)| = -f(x)\) может иметь смысл только если \(-f(x) \ge 0\), то есть \(f(x) \le 0\), потому что:

\[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow \text{если } f(x) \ge 0, \text{то } |f(x)| = f(x) \neq -f(x), \ тогда условие не выполняется. \]

Итак:

\[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow f(x) \le 0 \]

При этом, так как \(|f(x)| = -f(x)\), это дополнительно означает:

\[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow \text{при } f(x) \le 0, |f(x)| = -f(x) \text{ (так как это равно модулю).} \]

---

Шаг 3. Решим неравенство и уравнение.

Для выполнения условие:

\[ |f(x)| = -f(x) \]

где \(f(x)\) — выражение:

\[ f(x) = \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \]

Обмотрим два случая.

---

Случай 1: \(f(x) \ge 0\)

Тогда:

\[ |f(x)| = f(x) \]

Условие становится:

\[ f(x) = -f(x) \Rightarrow 2f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \]

Проверяем, когда \(f(x) = 0\):

\[ \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} = 0 \]

Значение дроби равно нулю, если числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):

\[ x^2 - 10x + 21 = 0 \]

Решим квадратичное уравнение:

\[ x^2 - 10x + 21 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 100 - 4 \times 1 \times 21 = 100 - 84 = 16 \]

Корни:

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \]

Итак:

\[ x_1 = \frac{10 + 4}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{10 - 4}{2} = 3 \]

Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю в этих точках:

\[ x^2 - 12x + 32 \neq 0 \]

Решим уравнение:

\[ x^2 - 12x + 32 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D' = 144 - 128 = 16 \]

Корни:

\[ x = \frac{12 \pm 4}{2} \]

\[ x = 8 \quad \text{или} \quad x = 4 \]

Следовательно, в точках \(x=3\) и \(x=7\) знаменатель не равен нулю.

Значит, в случае когда \(f(x) \ge 0\), решение:

\[ x = 3, 7 \]

И при этом нужно проверить, что в этих точках \(f(x) \ge 0\).

---

Проверим знак \(f(x)\) для \(x=3\) и \(x=7\).

Для \(x=3\):

Числитель:

\[ 3^2 - 10 \times 3 + 21 = 9 - 30 + 21 = 0 \]

Знаменатель:

\[ 9 - 36 + 32 = 5 \]

Итог:

\[ f(3) = 0/5 = 0 \Rightarrow f(3) \ge 0 \]

Подходит.

Для \(x=7\):

Числитель:

\[ 49 - 70 + 21 = 0 \]

Знаменатель:

\[ 49 - 84 + 32 = -3 \]

Итог:

\[ f(7) = 0/(-3) = 0 \Rightarrow f(7) \ge 0 \]

Тоже подходит.

---

Итюча для первого случая:

Решение при \(f(x) \ge 0\):

\[ x = 3, 7 \]

---

Случай 2: \(f(x) < 0\)

Тогда:

\[ |f(x)| = -f(x) \]

Работает при \(f(x) < 0\), и условие выполняется всегда, так как:

\[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow \text{для } f(x) < 0, \text{верно.} \]

Значит, при \(f(x) < 0\), условие равно Ver.

Следовательно, все \(x\), при которых \(f(x) < 0\), будут решениями.

---

Итого:

• В точках, где \(f(x) = 0\), выполнено решение, и оно равно \(x=3, 7\).
• В точках, где \(f(x) < 0\), условие тоже выполняется.
• В точках, где \(f(x) > 0\), условие не выполняется.

---

Итоговые решения.

Все \(x\), такие что:

\[ f(x) \le 0 \]

и при этом знаменатель не равен нулю:

\[ x^2 - 12x + 32 \neq 0 \]

Рассмотрим знак \(f(x)\):

\[ f(x) = \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \]

Разложение числителя:

\[ x^2 - 10x + 21 = (x-3)(x-7) \]

Разложение знаменателя:

\[ x^2 - 12x + 32 = (x-4)(x-8) \]

Область определения:

\[ x \neq 4, 8 \]

---

Анализ знаков:

• Знаменатель:

\[ x - 4, \quad x - 8 \]

• Числитель:

\[ x - 3, \quad x - 7 \]

Таблица знаков для деления:

интервал	\((x-3)\)	\((x-7)\)	\((x-4)\)	\((x-8)\)	\(f(x)\)	комментарий
\(x < 3\)	-	-	-	-	\((+)(-)/(-)(-)\) = \(-\)	числитель: >0, знаменатель: >0, \(f(x)<0\)
\(3< x <4\)	+	-	-	-	\(+ \times - / - \times -\) = \(-\)	\(f(x)<0\)
\(4< x <7\)	+	-	+	-	\(+\times - / + \times -\) = \(+\)	\(f(x)>0\)
\(7< x <8\)	+	+	+	-	\(+\times + / + \times -\) = \(-\)	\(f(x)<0\)
\(x > 8\)	+	+	+	+	\(+\times + / + \times +\) = \(+\)	\(f(x)>0\)

---

Итоговые решения:

• \(f(x) \le 0\) при интервалах:

\[ (-\infty, 3),\, (3,4),\, (7,8) \]

включая точки, где числитель равен нулю (то есть \(x=3,7\)) — решение, так как \(f(x)=0\) в этих точках.

• Знаменатель не должен равняться нулю:

\[ x \neq 4, 8 \]

Ответ:

\[ x \in (-\infty, 3] \cup (3, 4) \cup (7,8) \]

Обратите внимание, что точка \(x=3\), где \(f(x)=0\), является решением. Аналогично — \(x=7\) (значение ноль). Точки \(x=4\) и \(x=8\) исключены, так как в этих точках выражение не определено.

---

Итоговое решение

\[ \boxed{ x \in (-\infty, 3] \cup (3, 4) \cup (7,8) } \]

---

Если нужно, могу дополнительно объяснить подробнее или помочь проверить эти решения!