|х²-10х+21/х²-12х+32|=- х²-10х+21/х²-12х+32

Давайте разберёмся с этой задачей по шагам, так как она кажется достаточно сложной и включает алгебраические выражения и абсолютное значение. Задача: \[ \left| \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \right| = - \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \] Шаг 1. Запишем условие подробнее. Обозначим: \[ f(x) = \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \] Тогда условие: \[ |f(x)| = -f(x) \] Обратите внимание, что модуль равен отрицательной функции. Что это означает? --- **Шаг 2. Рассмотрим свойства.** Известно, что: - Модуль числа всегда неотрицателен: \(|f(x)| \ge 0\). - Тогда равенство \(|f(x)| = -f(x)\) может иметь смысл только если \(-f(x) \ge 0\), то есть \(f(x) \le 0\), потому что: \[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow \text{если } f(x) \ge 0, \text{то } |f(x)| = f(x) \neq -f(x), \ тогда условие не выполняется. \] Итак: \[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow f(x) \le 0 \] При этом, так как \(|f(x)| = -f(x)\), это дополнительно означает: \[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow \text{при } f(x) \le 0, |f(x)| = -f(x) \text{ (так как это равно модулю).} \] --- **Шаг 3. Решим неравенство и уравнение.** Для выполнения условие: \[ |f(x)| = -f(x) \] где \(f(x)\) — выражение: \[ f(x) = \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \] Обмотрим два случая. --- ### Случай 1: \(f(x) \ge 0\) Тогда: \[ |f(x)| = f(x) \] Условие становится: \[ f(x) = -f(x) \Rightarrow 2f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \] Проверяем, когда \(f(x) = 0\): \[ \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} = 0 \] Значение дроби равно нулю, если числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): \[ x^2 - 10x + 21 = 0 \] Решим квадратичное уравнение: \[ x^2 - 10x + 21 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 100 - 4 \times 1 \times 21 = 100 - 84 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \] Итак: \[ x_1 = \frac{10 + 4}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{10 - 4}{2} = 3 \] Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю в этих точках: \[ x^2 - 12x + 32 \neq 0 \] Решим уравнение: \[ x^2 - 12x + 32 = 0 \] Дискриминант: \[ D' = 144 - 128 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{12 \pm 4}{2} \] \[ x = 8 \quad \text{или} \quad x = 4 \] Следовательно, в точках \(x=3\) и \(x=7\) знаменатель не равен нулю. Значит, **в случае когда \(f(x) \ge 0\), решение:** \[ x = 3, 7 \] И **при этом** нужно проверить, что в этих точках \(f(x) \ge 0\). --- ### Проверим знак \(f(x)\) для \(x=3\) и \(x=7\). **Для \(x=3\):** Числитель: \[ 3^2 - 10 \times 3 + 21 = 9 - 30 + 21 = 0 \] Знаменатель: \[ 9 - 36 + 32 = 5 \] Итог: \[ f(3) = 0/5 = 0 \Rightarrow f(3) \ge 0 \] Подходит. **Для \(x=7\):** Числитель: \[ 49 - 70 + 21 = 0 \] Знаменатель: \[ 49 - 84 + 32 = -3 \] Итог: \[ f(7) = 0/(-3) = 0 \Rightarrow f(7) \ge 0 \] Тоже подходит. --- ### Итюча для первого случая: **Решение при \(f(x) \ge 0\):** \[ x = 3, 7 \] --- ### Случай 2: \(f(x) < 0\) Тогда: \[ |f(x)| = -f(x) \] Работает при \(f(x) < 0\), и условие выполняется всегда, так как: \[ |f(x)| = -f(x) \Rightarrow \text{для } f(x) < 0, \text{верно.} \] Значит, при \(f(x) < 0\), условие равно Ver. Следовательно, все \(x\), при которых \(f(x) < 0\), будут решениями. --- **Итого:** - В точках, где \(f(x) = 0\), выполнено решение, и оно равно \(x=3, 7\). - В точках, где \(f(x) < 0\), условие тоже выполняется. - В точках, где \(f(x) > 0\), условие не выполняется. --- ### Итоговые решения. **Все \(x\), такие что:** \[ f(x) \le 0 \] и при этом знаменатель не равен нулю: \[ x^2 - 12x + 32 \neq 0 \] Рассмотрим знак \(f(x)\): \[ f(x) = \frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} \] **Разложение числителя:** \[ x^2 - 10x + 21 = (x-3)(x-7) \] **Разложение знаменателя:** \[ x^2 - 12x + 32 = (x-4)(x-8) \] Область определения: \[ x \neq 4, 8 \] --- ### Анализ знаков: - **Знаменатель:** \[ x - 4, \quad x - 8 \] - **Числитель:** \[ x - 3, \quad x - 7 \] #### Таблица знаков для деления: | интервал | \((x-3)\) | \((x-7)\) | \((x-4)\) | \((x-8)\) | \(f(x)\) | комментарий | |------------|------------|-----------|------------|------------|---------|--------------| | \(x < 3\) | - | - | - | - | \((+)(-)/(-)(-)\) = \(-\)| числитель: >0, знаменатель: >0, \(f(x)<0\) | | \(3< x <4\)| + | - | - | - | \(+ \times - / - \times -\) = \(-\) | \(f(x)<0\) | | \(4< x <7\)| + | - | + | - | \(+\times - / + \times -\) = \(+\) | \(f(x)>0\) | | \(7< x <8\)| + | + | + | - | \(+\times + / + \times -\) = \(-\) | \(f(x)<0\) | | \(x > 8\) | + | + | + | + | \(+\times + / + \times +\) = \(+\) | \(f(x)>0\) | --- ### Итоговые решения: - \(f(x) \le 0\) при интервалах: \[ (-\infty, 3),\, (3,4),\, (7,8) \] включая точки, где числитель равен нулю (то есть \(x=3,7\)) — решение, так как \(f(x)=0\) в этих точках. - Знаменатель не должен равняться нулю: \[ x \neq 4, 8 \] **Ответ:** \[ x \in (-\infty, 3] \cup (3, 4) \cup (7,8) \] Обратите внимание, что точка \(x=3\), где \(f(x)=0\), является решением. Аналогично — \(x=7\) (значение ноль). Точки \(x=4\) и \(x=8\) исключены, так как в этих точках выражение не определено. --- ## Итоговое решение \[ \boxed{ x \in (-\infty, 3] \cup (3, 4) \cup (7,8) } \] --- Если нужно, могу дополнительно объяснить подробнее или помочь проверить эти решения!