Давайте подробно разберем задачу и сделаем доказательство шаг за шагом.
Дано:
- Точки (A), (B) и (C) лежат на одной прямой.
- (M) — середина отрезка (AB), то есть (AM = MB).
- (N) — середина отрезка (AC), то есть (AN = NC).
Требуется доказать:
[
BC = 2 \times MN
]
Шаг 1. Вводим координаты
Чтобы было проще, выберем координаты для точек на прямой. Обозначим:
- (A) — точка с координатой (0).
- Обозначим (B) — точка с координатой (b).
- Обозначим (C) — точка с координатой (c).
Так как все точки лежат на одной прямой, то (A, B, C) — числа на числовой оси.
Шаг 2. Найдем координаты точек (M) и (N)
- (M) — середина (AB):
[
M = \frac{A + B}{2} = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2}
]
- (N) — середина (AC):
[
N = \frac{A + C}{2} = \frac{0 + c}{2} = \frac{c}{2}
]
Шаг 3. Вычислим (BC) и (MN)
- Расстояние между (B) и (C):
[
BC = |b - c|
]
- Расстояние между (M) и (N):
[
MN = |M - N| = \left| \frac{b}{2} - \frac{c}{2} \right| = \frac{|b - c|}{2}
]
Шаг 4. Докажем требуемое равенство
Нам нужно показать, что:
[
BC = 2 \times MN
]
Подставим полученные значения:
[
|b - c| = 2 \times \frac{|b - c|}{2}
]
Левая часть — ( |b - c| ), правая — ( |b - c| ). Значит:
[
|b - c| = |b - c|
]
что верно в любом случае.
ИТОГ:
Мы доказали, что расстояние (BC) равно в два раза большему расстоянию между точками (M) и (N):
[
\boxed{BC = 2 \times MN}
]
Ответ:
Точки (A, B, C) лежат на одной прямой, и при этом (M) — середина (AB), (N) — середина (AC). Тогда расстояние между (B) и (C) в два раза больше расстояния между (M) и (N):
[
\boxed{BC = 2MN}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить подробнее — пишите!
