Точки А , В и С лежат на одной прямой , точки М и N – середины отрезков АВ и АС . Докажите что ВС = 2МN
Давайте подробно разберем задачу и сделаем доказательство шаг за шагом.
Дано:
- Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой.
- \(M\) — середина отрезка \(AB\), то есть \(AM = MB\).
- \(N\) — середина отрезка \(AC\), то есть \(AN = NC\).
Требуется доказать:
\[
BC = 2 \times MN
\]
Шаг 1. Вводим координаты
Чтобы было проще, выберем координаты для точек на прямой. Обозначим:
- \(A\) — точка с координатой \(0\).
- Обозначим \(B\) — точка с координатой \(b\).
- Обозначим \(C\) — точка с координатой \(c\).
Так как все точки лежат на одной прямой, то \(A, B, C\) — числа на числовой оси.
Шаг 2. Найдем координаты точек \(M\) и \(N\)
- \(M\) — середина \(AB\): \[ M = \frac{A + B}{2} = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2} \]
- \(N\) — середина \(AC\): \[ N = \frac{A + C}{2} = \frac{0 + c}{2} = \frac{c}{2} \]
Шаг 3. Вычислим \(BC\) и \(MN\)
- Расстояние между \(B\) и \(C\): \[ BC = |b - c| \]
- Расстояние между \(M\) и \(N\): \[ MN = |M - N| = \left| \frac{b}{2} - \frac{c}{2} \right| = \frac{|b - c|}{2} \]
Шаг 4. Докажем требуемое равенство
Нам нужно показать, что:
\[ BC = 2 \times MN \]
Подставим полученные значения:
\[ |b - c| = 2 \times \frac{|b - c|}{2} \]
Левая часть — \( |b - c| \), правая — \( |b - c| \). Значит:
\[ |b - c| = |b - c| \]
что верно в любом случае.
ИТОГ:
Мы доказали, что расстояние \(BC\) равно в два раза большему расстоянию между точками \(M\) и \(N\):
\[ \boxed{BC = 2 \times MN} \]
Ответ:
Точки \(A, B, C\) лежат на одной прямой, и при этом \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AC\). Тогда расстояние между \(B\) и \(C\) в два раза больше расстояния между \(M\) и \(N\):
\[ \boxed{BC = 2MN} \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить подробнее — пишите!
