Давайте подробно разберем задачу и решим ее пошагово.
Дано:
- Радиус основания цилиндра ( r = 8, \text{см} ).
- Площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания.
Шаг 1: Найдем площадь основания цилиндра
Площадь круга (основания):
[
S_{\text{осн}} = \pi r^2
]
Подставим ( r = 8, \text{см} ):
[
S_{\text{осн}} = \pi \times 8^2 = \pi \times 64 = 64\pi, \text{см}^2
]
Шаг 2: Обозначим высоту цилиндра
Обозначим высоту цилиндра как ( h ).
Шаг 3: Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности цилиндра:
[
S_{\text{бок}} = 2 \pi r h
]
По условию: ( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} S_{\text{осн}} ).
Подставим значения:
[
2 \pi r h = \frac{1}{2} \times 64 \pi
]
[
2 \pi \times 8 \times h = 32 \pi
]
[
16 \pi h = 32 \pi
]
Делим обе части на ( 16 \pi ):
[
h = \frac{32 \pi}{16 \pi} = 2, \text{см}
]
Значит, высота цилиндра ( h = 2, \textсм} ).
Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности цилиндра
Площадь полной поверхности включает:
- 2 основания
- боковую поверхность
Общая площадь:
[
S_{\text{полн}} = 2 S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
]
Подставим найденные значения:
[
S_{\text{полн}} = 2 \times 64 \pi + 32 \pi
]
[
S_{\text{полн}} = 128 \pi + 32 \pi = 160 \pi, \text{см}^2
]
Ответ:
[
\boxed{
S_{\text{полн}} = 160 \pi \text{ см}^2 \approx 160 \times 3,14 \approx 502,4, \text{см}^2
}
]
Полная площадь поверхности цилиндра примерно равна 502,4 см².
