Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти скорость электрона, движущегося в однородных электромагнитных полях, при которых силовые воздействия на него компенсируют друг друга.
Дано:
- Электрическое поле: ( E = 1, \text{kV/m} = 1000, \text{V/m} )
- Магнитное поле: ( B = 1, \text{mT} = 0{,}001, \text{Тл} )
- Электрон движется прямолинейно и равномерно.
Задача: определить скорость электрона ( v ), которая обеспечивает равновесие сил — т.е. чтобы сила электромагнитного поля на электрон была равна нулю, и он двигался без ускорения.
Шаг 1. Запишем силу Лоренца
На электрон действует сила:
[
\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}),
]
где:
- ( q = -e \approx -1{,}6 \times 10^{-19} , \text{Кл} ),
- ( \vec{E} ) и ( \vec{B} ) — векторы электрического и магнитного полей,
- ( \vec{v} ) — вектор скорости электрона.
Шаг 2. Определим условие равновесия сил
Чтобы электрон двигался равномерно и прямолинейно без ускорения, сумма сил ( \vec{F} ) должна равняться нулю:
[
\vec{F} = 0 \Rightarrow q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0.
]
Для этого:
[
\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0,
]
или:
[
\vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E}.
]
Шаг 3. Выбор ориентации векторов
Предположим:
- Электрическое поле ( \vec{E} ) вдоль оси ( x ): ( \vec{E} = (E, 0, 0) ),
- Магнитное поле ( \vec{B} ) вдоль оси ( z ): ( \vec{B} = (0, 0, B) ),
- Тогда искомая скорость ( \vec{v} ) будет в плоскости ( xy ), чтобы виконать условие ( \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E} ).
Шаг 4. Вычислим вектор скорости ( \vec{v} )
Обозначим ( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) ). Тогда:
[
\vec{v} \times \vec{B} = (v_x, v_y, v_z) \times (0, 0, B) = (v_y B, -v_x B, 0).
]
По условию:
[
v_y B = -E,
]
[
-v_x B = 0,
]
[
0 = 0.
]
Из второго уравнения:
[
v_x = 0,
]
из первого:
[
v_y = - \frac{E}{B}.
]
Поскольку ( v_z ) не участвует в уравнении, он может быть любым, но для простоты возьмем ( v_z=0 ).
Шаг 5. Подставим известные значения
[
v_y = - \frac{E}{B} = - \frac{1000, \text{V/m}}{0,001, \text{Тл}}.
]
Внимание: учтём, что (\text{V/m}) и (\text{Тл}) связаны через формулу силы. В формуле:
[
v_y = - \frac{E}{B},
]
скорость должна иметь знак, указывающий на направление, но для определения модуля важно:
[
|v| = \frac{E}{B}.
]
Значит:
[
|v| = \frac{1000}{0,001} = 1,000,000, \text{м/с}.
]
Ответ:
[
\boxed{
v \approx 10^6, \text{м/с}
}
]
Это соответствует варианту С) ( 10^6, \text{м/с} ).
Итог:
Электрон движется со скоростью порядка (10^6) м/с, чтобы сила магнитного поля компенсировала воздействие электрического, обеспечивая равномерное прямолинейное движение.
Если нужен более подробный разбор — пишите!
