В пространстве, где существуют однородные и постоянные электрические E=1 кВ/м и магнитные В=1 мТл поля, прямолинейно и равномерно движется электрон. Определите его скорость. А) 1…
В пространстве, где существуют однородные и постоянные электрические E=1 кВ/м и магнитные В=1 мТл поля, прямолинейно и равномерно движется электрон. Определите его скорость. А) 1 м/с В) 10^3 м/с С) 10^6 м/с D) 10^4 м/с Е) 10^2 м/с. Написать с решением
Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти скорость электрона, движущегося в однородных электромагнитных полях, при которых силовые воздействия на него компенсируют друг друга.
Дано:
- Электрическое поле: \( E = 1\, \text{kV/m} = 1000\, \text{V/m} \)
- Магнитное поле: \( B = 1\, \text{mT} = 0{,}001\, \text{Тл} \)
- Электрон движется прямолинейно и равномерно.
Задача: определить скорость электрона \( v \), которая обеспечивает равновесие сил — т.е. чтобы сила электромагнитного поля на электрон была равна нулю, и он двигался без ускорения.
Шаг 1. Запишем силу Лоренца
На электрон действует сила:
\[ \vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}), \]
где:
- \( q = -e \approx -1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \),
- \( \vec{E} \) и \( \vec{B} \) — векторы электрического и магнитного полей,
- \( \vec{v} \) — вектор скорости электрона.
Шаг 2. Определим условие равновесия сил
Чтобы электрон двигался равномерно и прямолинейно без ускорения, сумма сил \( \vec{F} \) должна равняться нулю:
\[ \vec{F} = 0 \Rightarrow q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0. \]
Для этого:
\[ \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0, \]
или:
\[ \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E}. \]
Шаг 3. Выбор ориентации векторов
Предположим:
- Электрическое поле \( \vec{E} \) вдоль оси \( x \): \( \vec{E} = (E, 0, 0) \),
- Магнитное поле \( \vec{B} \) вдоль оси \( z \): \( \vec{B} = (0, 0, B) \),
- Тогда искомая скорость \( \vec{v} \) будет в плоскости \( xy \), чтобы виконать условие \( \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E} \).
Шаг 4. Вычислим вектор скорости \( \vec{v} \)
Обозначим \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \). Тогда:
\[ \vec{v} \times \vec{B} = (v_x, v_y, v_z) \times (0, 0, B) = (v_y B, -v_x B, 0). \]
По условию:
\[ v_y B = -E, \] \[ -v_x B = 0, \] \[ 0 = 0. \]
Из второго уравнения:
\[ v_x = 0, \]
из первого:
\[ v_y = - \frac{E}{B}. \]
Поскольку \( v_z \) не участвует в уравнении, он может быть любым, но для простоты возьмем \( v_z=0 \).
Шаг 5. Подставим известные значения
\[ v_y = - \frac{E}{B} = - \frac{1000\, \text{V/m}}{0,001\, \text{Тл}}. \]
Внимание: учтём, что \(\text{V/m}\) и \(\text{Тл}\) связаны через формулу силы. В формуле:
\[ v_y = - \frac{E}{B}, \]
скорость должна иметь знак, указывающий на направление, но для определения модуля важно:
\[ |v| = \frac{E}{B}. \]
Значит:
\[ |v| = \frac{1000}{0,001} = 1\,000\,000\, \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ v \approx 10^6\, \text{м/с} } \]
Это соответствует варианту С) \( 10^6\, \text{м/с} \).
Итог:
Электрон движется со скоростью порядка \(10^6\) м/с, чтобы сила магнитного поля компенсировала воздействие электрического, обеспечивая равномерное прямолинейное движение.
Если нужен более подробный разбор — пишите!
