Какое ОДЗ

Давайте решим задачу по шагам: Задача: \[ \log_3(2 + x) + \log_3(5 + 4x) = 0 \] **Шаг 1: Используем свойства логарифмов** Сумма логарифмов при одном основании равна логарифму произведения: \[ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \] Таким образом, завершу упростить уравнение: \[ \log_3 \big((2 + x)(5 + 4x)\big) = 0 \] **Шаг 2: Перепишем уравнение в экспоненциальной форме** Поскольку \(\log_3 y = 0\), то: \[ y = 3^0 = 1 \] Подставим: \[ (2 + x)(5 + 4x) = 1 \] **Шаг 3: Раскроем скобки и получим квадратное уравнение** Раскроем скобки: \[ (2 + x)(5 + 4x) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 4x + x \cdot 5 + x \cdot 4x = 10 + 8x + 5x + 4x^2 \] \[ = 10 + 13x + 4x^2 \] Нам нужно решить: \[ 4x^2 + 13x + 10 = 1 \] Переносим всё в левую часть: \[ 4x^2 + 13x + 10 - 1 = 0 \] \[ 4x^2 + 13x + 9 = 0 \] **Шаг 4: Решение квадратного уравнения** Дискриминант: \[ D = 13^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 4} = \frac{-13 \pm 5}{8} \] Варианты решений: 1. \(\displaystyle x_1 = \frac{-13 + 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1\) 2. \(\displaystyle x_2 = \frac{-13 - 5}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} = -2,25\) **Шаг 5: Проверка условий определения логарифмов** Для логарифмов: \[ 2 + x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2 \] \[ 5 + 4x > 0 \quad \Rightarrow \quad 4x > -5 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{5}{4} = -1,25 \] Объединяет условия: \[ x > -1,25 \] Теперь проверим каждое решение: - \(x = -1\): - Проверка: \(-1 > -1,25 \quad \text{(да)}\) - Значит, \(\log\) определены. - \(x = -2,25\): - Проверка: \(-2,25 > -1,25 \quad ?\) - Нет, — не выполняется. Следовательно, это решение недопустимо. **Ответ:** \[ x = -1 \] **ОДЗ:** \(\boxed{(-1, \infty)}\) --- Если необходима более подробная объяснительная часть — скажите!