Какое ОДЗ

Давайте решим задачу по шагам:

Задача:
\[ \log_3(2 + x) + \log_3(5 + 4x) = 0 \]

Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Сумма логарифмов при одном основании равна логарифму произведения:
\[ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \]

Таким образом, завершу упростить уравнение:
\[ \log_3 \big((2 + x)(5 + 4x)\big) = 0 \]

Шаг 2: Перепишем уравнение в экспоненциальной форме
Поскольку \(\log_3 y = 0\), то:
\[ y = 3^0 = 1 \]

Подставим:
\[ (2 + x)(5 + 4x) = 1 \]

Шаг 3: Раскроем скобки и получим квадратное уравнение
Раскроем скобки:
\[ (2 + x)(5 + 4x) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 4x + x \cdot 5 + x \cdot 4x = 10 + 8x + 5x + 4x^2 \] \[ = 10 + 13x + 4x^2 \]

Нам нужно решить:
\[ 4x^2 + 13x + 10 = 1 \]

Переносим всё в левую часть:
\[ 4x^2 + 13x + 10 - 1 = 0 \]

\[ 4x^2 + 13x + 9 = 0 \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Дискриминант:
\[ D = 13^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 \]

Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 4} = \frac{-13 \pm 5}{8} \]

Варианты решений:

1. \(\displaystyle x_1 = \frac{-13 + 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1\)
2. \(\displaystyle x_2 = \frac{-13 - 5}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} = -2,25\)

Шаг 5: Проверка условий определения логарифмов
Для логарифмов:
\[ 2 + x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2 \] \[ 5 + 4x > 0 \quad \Rightarrow \quad 4x > -5 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{5}{4} = -1,25 \]

Объединяет условия:
\[ x > -1,25 \]

Теперь проверим каждое решение:

• \(x = -1\):

  • Проверка: \(-1 > -1,25 \quad \text{(да)}\)
  • Значит, \(\log\) определены.

• \(x = -2,25\):

  • Проверка: \(-2,25 > -1,25 \quad ?\)
  • Нет, — не выполняется. Следовательно, это решение недопустимо.

Ответ:
\[ x = -1 \]

ОДЗ: \(\boxed{(-1, \infty)}\)

Если необходима более подробная объяснительная часть — скажите!