Какое ОДЗ
Давайте разберем каждое из указанных неравенств по отдельности, чтобы понять, что такое ОДЗ (область допустимых значений).
Задача 1:
\[ \log_2(2 + x) + \log_5(4x + 5) = 0 \]
Что нужно учитывать при решении логарифмических уравнений:
Логарифмы существуют только при положительных аргументах:
\[ 2 + x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2 \] \[ 4x + 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{5}{4} \]Так как оба логарифма должны быть определены, ОДЗ — это интервал, где выполняются оба условий одновременно:
\[ x > -2 \quad \text{и} \quad x > -\frac{5}{4} \]
- Среди этих двух чисел больше — это \(-\frac{5}{4}\), потому что \(-\frac{5}{4} = -1.25\), а \(-2\) — меньше.
Итак, окончочное ОДЗ:
\[ \boxed{ x > -\frac{5}{4} } \]
Задача 2:
\[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) > 0 \]
Здесь логарифмы — десятичные (обычные), обозначаются как \(\lg\).
Критерии существования:
- Аргументы логарифмов положительны:
- \[ x^2 + x - 6 > 0 \]
Разложим левый член:
\[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \]
Значит:
\[ (x + 3)(x - 2) > 0 \]
Чтобы определить знак этого произведения, рассмотрим точки нуля: \(x = -3\) и \(x = 2\).
Интервал разбивается на три части:
- \(x < -3\): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
- \(-3 < x < 2\): один множитель положителен, другой отрицателен, произведение отрицательное.
- \(x > 2\): оба множителя положительны, произведение положительно.
Следовательно:
\[ x^2 + x - 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2 \]
- \[ x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -3 \]
Для логарифма \(\lg(x + 3)\) нужно, чтобы \(x > -3\).
——
Объединяем условия:
- Первое условие: \(x < -3\) или \(x > 2\),
- Второе условие: \(x > -3\).
Из этого:
В интервале \(x < -3\) условие \(x > -3\) не выполняется, так как \(x < -3\).
В интервале \(x > 2\) — условия совпадают, так как \(x > 2\) означает \(x > -3\).
ИТОГ:
ОДЗ:
\[
x > 2
\]
Итимизация:
Для первого уравнения:
\[ x > -\frac{5}{4} \]Для второго неравенства:
\[ x > 2 \]
Общая ОДЗ for обе задачи:
\[ \boxed{ x > 2 } \]
Если нужно провести более подробное решение уравнений или неравенств, я готов помочь!
