14. В правильной 4-ой пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро 5 см. Найти полную поверхность пирамиды.

Давайте подробно решим задачу по геометрии о полной поверхности пирамиды. **Даны:** - Сторона основания квадратной пирамиды \( a = 8 \) см - Боковое ребро \( l = 5 \) см **Требуется найти:** полную поверхность пирамиды (Sполн) --- ### Шаг 1. Найти площадь основания Основание — квадрат со стороной 8 см. \[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 2. Найти апофис (высоту боковой грани) из бокового ребра Боковое ребро — это ребро, идущее от вершины пирамиды к центру стороны основания. Но в условии говорится "боковое ребро 5 см" — скорее всего, имеется в виду боковая ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершиной основания (или с одной стороны). В таких задачах обычно из условия "боковое ребро" берется как ребро боковой грани. **Допустим:** Пирамида является правильной квадратной, и боковые ребра наклонены к основанию. Тогда: - Боковое ребро \( l_b = 5 \) см - Основание — квадрат со стороной 8 см --- ### Шаг 3. Найти апофис (высоту боковой грани) Проводим апофис боковой грани — высоту равнобедренного треугольника, образованного боковым ребром, гранью и основанием. Для вычисления площади боковых граней необходимо найти высоту боковой треугольной поверхности. --- ### Шаг 4. Построение и расчет Обозначим: - \( S_1 \) — площадь одной боковой поверхности (треугольник) - \( H_b \) — высоту боковой грани (от вершины до середины стороны основания) Рассмотрим треугольник, образованный: - боковым ребром \( l_b = 5 \) см - половиной стороны основания \( \frac{a}{2} = 4 \) см - и высотой боковой грани \( H_b \) Это прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковое ребро, один катет — это высота боковой грани \( H_b \), второй — половина стороны основания. По теореме Пифагора: \[ l_b^2 = H_b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Подставим: \[ 5^2 = H_b^2 + 4^2 \] \[ 25 = H_b^2 + 16 \] \[ H_b^2 = 25 - 16 = 9 \] \[ H_b = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \] --- ### Шаг 5. Найти площадь одной боковой поверхности (треугольника) Площадь боковой грани: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота боковой грани} \] В основании — сторона квадрата 8 см, а высота — \( H_b = 3 \) см. Но обычно для полной поверхности пирамиды эту площадь считают для каждого бокового треугольника отдельно. Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \times a \times H_b \] Подставляем значения: \[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \text{ см}^2 \] Так как пирамида правильная и её основание квадратное, то есть 4 равные боковые грани: Общая площадь боковых граней: \[ S_{боковые} = 4 \times 12 = 48 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 6. Найти полную площадь поверхности Это сумма площади основания и боковых граней: \[ S_{полная} = S_{осн} + S_{боковые} \] \[ S_{полная} = 64 + 48 = 112 \text{ см}^2 \] --- ## **Ответ:** **Полная поверхность пирамиды равна 112 см².**