14. В правильной 4-ой пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро 5 см. Найти полную поверхность пирамиды.
Давайте подробно решим задачу по геометрии о полной поверхности пирамиды.
Даны:
- Сторона основания квадратной пирамиды \( a = 8 \) см
- Боковое ребро \( l = 5 \) см
Требуется найти: полную поверхность пирамиды (Sполн)
Шаг 1. Найти площадь основания
Основание — квадрат со стороной 8 см.
\[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 \]
Шаг 2. Найти апофис (высоту боковой грани) из бокового ребра
Боковое ребро — это ребро, идущее от вершины пирамиды к центру стороны основания.
Но в условии говорится "боковое ребро 5 см" — скорее всего, имеется в виду боковая ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершиной основания (или с одной стороны). В таких задачах обычно из условия "боковое ребро" берется как ребро боковой грани.
Допустим:
Пирамида является правильной квадратной, и боковые ребра наклонены к основанию. Тогда:
- Боковое ребро \( l_b = 5 \) см
- Основание — квадрат со стороной 8 см
Шаг 3. Найти апофис (высоту боковой грани)
Проводим апофис боковой грани — высоту равнобедренного треугольника, образованного боковым ребром, гранью и основанием.
Для вычисления площади боковых граней необходимо найти высоту боковой треугольной поверхности.
Шаг 4. Построение и расчет
Обозначим:
- \( S_1 \) — площадь одной боковой поверхности (треугольник)
- \( H_b \) — высоту боковой грани (от вершины до середины стороны основания)
Рассмотрим треугольник, образованный:
- боковым ребром \( l_b = 5 \) см
- половиной стороны основания \( \frac{a}{2} = 4 \) см
- и высотой боковой грани \( H_b \)
Это прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковое ребро, один катет — это высота боковой грани \( H_b \), второй — половина стороны основания.
По теореме Пифагора:
\[ l_b^2 = H_b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Подставим:
\[ 5^2 = H_b^2 + 4^2 \]
\[ 25 = H_b^2 + 16 \]
\[ H_b^2 = 25 - 16 = 9 \]
\[ H_b = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]
Шаг 5. Найти площадь одной боковой поверхности (треугольника)
Площадь боковой грани:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота боковой грани} \]
В основании — сторона квадрата 8 см, а высота — \( H_b = 3 \) см.
Но обычно для полной поверхности пирамиды эту площадь считают для каждого бокового треугольника отдельно.
Площадь одного бокового треугольника:
\[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \times a \times H_b \]
Подставляем значения:
\[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \text{ см}^2 \]
Так как пирамида правильная и её основание квадратное, то есть 4 равные боковые грани:
Общая площадь боковых граней:
\[ S_{боковые} = 4 \times 12 = 48 \text{ см}^2 \]
Шаг 6. Найти полную площадь поверхности
Это сумма площади основания и боковых граней:
\[ S_{полная} = S_{осн} + S_{боковые} \]
\[ S_{полная} = 64 + 48 = 112 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Полная поверхность пирамиды равна 112 см².
