Дана функция у = 2/(х + 1). Построить график функции. Найти область определения и значения функции; определить четная или нечетная функция; указать промежутки возрастания и убывания. Найти значения функции при х = 3 и х = -1

Давайте поэтапно решим задачу и объясним все шаги. --- ### 1. Данная функция: \[ y = \frac{2}{x + 1} \] --- ### 2. Область определения функции Область определения — это все значения \(x\), для которых выражение в знаменателе не равно нулю (так как деление на ноль невозможно). \[ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \] **Ответ:** Область определения — все числа, кроме \(-1\): \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \] --- ### 3. Область значений функции Рассмотрим, какие значения может принимать \(y\). - Если \(x \to -1\) слева, то \(x + 1 \to 0^-\), соответственно \(\frac{2}{x+1} \to -\infty\). - Если \(x \to -1\) справа, то \(x + 1 \to 0^+\), и \(\frac{2}{x+1} \to +\infty\). Так как \(y\) — рациональная функция, она может принимать любые значения, кроме, возможно, какого-то ограниченного значения. Нет значения, которое невозможно достичь, кроме асимптот. **Найдем горизонтальную асимптоту:** Так как при больших \(|x|\), \[ y \approx \frac{2}{x} \] и она стремится к 0. Проверьте, можем ли получить \(y=0\): \[ \frac{2}{x+1} = 0 \Rightarrow 2=0 \quad \text{ — невозможно} \] **Ответ:** Значения соответствуют всему множеству \(\mathbb{R}\), кроме \(0\). ***Итак, область значений:*** \[ Y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \] --- ### 4. Четная или нечетная функция Функция — рациональная с выражением \(\frac{2}{x+1}\). Проведем проверку: \[ f(-x) = \frac{2}{-x+1} \] Чтобы быть четной: \[ f(-x) = f(x) \Rightarrow \frac{2}{-x+1} = \frac{2}{x+1} \] Это равно при \[ -x+1 = x+1 \Rightarrow -x = x \Rightarrow x=0 \] Но это не для всех \(x\). Следовательно, функция **не является четной**. Теперь проверим, является ли она нечетной: \[ f(-x) = -f(x)? \] \[ \frac{2}{-x+1} \stackrel{?}{=} - \frac{2}{x+1} \] \[ \frac{2}{-x+1} = - \frac{2}{x+1} \] \[ \frac{2}{-x+1} = - \frac{2}{x+1} \] Множим обе части на \((x+1)(-x+1)\): \[ 2(x+1) = -2(-x+1) \] \[ 2(x+1) = -2(-x+1) \] Раскроем скобки: \[ 2x + 2 = -2(-x+1) = -2(-x) - 2(1) = 2x - 2 \] Получается: \[ 2x + 2 = 2x - 2 \] \[ 2 = -2 \] Это невозможно, значит, функция **не является нечетной**. **Вывод:** - Не является ни четной, ни нечетной. --- ### 5. Промежутки возрастания и убывания Обозначим функцию как: \[ f(x) = \frac{2}{x+1} \] Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x+1} \right) \] Используем правило дифференцирования для дроби: \[ f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{2}{(x+1)^2} \] Поскольку квадрат в знаменателе всегда положителен, то: \[ f'(x) = -\frac{2}{(x+1)^2} < 0 \] Для всех \(x \neq -1\). **Следовательно:** - Производная отрицательна на всей области определения, значит функция **строго убывает** на всей её области. --- ### 6. Значения функции при \(x=3\) и \(x=-1\) - При \(x=3\): \[ y = \frac{2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = 0.5 \] - При \(x=-1\): Так как в точке \(-1\) есть асимптота, значение функции в точке \(-1\) не определено. Но можем рассчитать предельные значения: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \] --- ### Итог: | Параметр | Ответ | |---|---| | **Область определения** | \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) | | **Область значений** | \( y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | | **Четная/нечетная** | Не является ни четной, ни нечетной | | **Промежутки возрастания/убывания** | Убывает на всей области | | **Значение при \(x=3\)** | \(0.5\) | | **Значение при \(x=-1\)** | Не определено (асимптота) | --- Если нужно построить график или есть еще вопросы — сообщите!