Дана функция у = 2/(х + 1). Построить график функции. Найти область определения и значения функции; определить четная или нечетная функция; указать промежутки возрастания и…

Давайте поэтапно решим задачу и объясним все шаги.

---

1. Данная функция:

\[ y = \frac{2}{x + 1} \]

---

2. Область определения функции

Область определения — это все значения \(x\), для которых выражение в знаменателе не равно нулю (так как деление на ноль невозможно).

\[ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \]

Ответ: Область определения — все числа, кроме \(-1\): \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \]

---

3. Область значений функции

Рассмотрим, какие значения может принимать \(y\).

• Если \(x \to -1\) слева, то \(x + 1 \to 0^-\), соответственно \(\frac{2}{x+1} \to -\infty\).
• Если \(x \to -1\) справа, то \(x + 1 \to 0^+\), и \(\frac{2}{x+1} \to +\infty\).

Так как \(y\) — рациональная функция, она может принимать любые значения, кроме, возможно, какого-то ограниченного значения.

Нет значения, которое невозможно достичь, кроме асимптот.

Найдем горизонтальную асимптоту:
Так как при больших \(|x|\), \[ y \approx \frac{2}{x} \] и она стремится к 0. Проверьте, можем ли получить \(y=0\):

\[ \frac{2}{x+1} = 0 \Rightarrow 2=0 \quad \text{ — невозможно} \]

Ответ: Значения соответствуют всему множеству \(\mathbb{R}\), кроме \(0\).

Итак, область значений: \[ Y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

---

4. Четная или нечетная функция

Функция — рациональная с выражением \(\frac{2}{x+1}\).

Проведем проверку:

\[ f(-x) = \frac{2}{-x+1} \]

Чтобы быть четной:

\[ f(-x) = f(x) \Rightarrow \frac{2}{-x+1} = \frac{2}{x+1} \]

Это равно при

\[ -x+1 = x+1 \Rightarrow -x = x \Rightarrow x=0 \]

Но это не для всех \(x\). Следовательно, функция не является четной.

Теперь проверим, является ли она нечетной:

\[ f(-x) = -f(x)? \]

\[ \frac{2}{-x+1} \stackrel{?}{=} - \frac{2}{x+1} \]

\[ \frac{2}{-x+1} = - \frac{2}{x+1} \] \[ \frac{2}{-x+1} = - \frac{2}{x+1} \]

Множим обе части на \((x+1)(-x+1)\):

\[ 2(x+1) = -2(-x+1) \]

\[ 2(x+1) = -2(-x+1) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x + 2 = -2(-x+1) = -2(-x) - 2(1) = 2x - 2 \]

Получается:

\[ 2x + 2 = 2x - 2 \]

\[ 2 = -2 \]

Это невозможно, значит, функция не является нечетной.

Вывод:

• Не является ни четной, ни нечетной.

---

5. Промежутки возрастания и убывания

Обозначим функцию как:

\[ f(x) = \frac{2}{x+1} \]

Найдем производную:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x+1} \right) \]

Используем правило дифференцирования для дроби:

\[ f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{2}{(x+1)^2} \]

Поскольку квадрат в знаменателе всегда положителен, то:

\[ f'(x) = -\frac{2}{(x+1)^2} < 0 \]

Для всех \(x \neq -1\).

Следовательно:

• Производная отрицательна на всей области определения, значит функция строго убывает на всей её области.

---

6. Значения функции при \(x=3\) и \(x=-1\)

• При \(x=3\):

\[ y = \frac{2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

• При \(x=-1\):

Так как в точке \(-1\) есть асимптота, значение функции в точке \(-1\) не определено. Но можем рассчитать предельные значения:

\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \]

---

Итог:

Параметр	Ответ
Область определения	\(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
Область значений	\( y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
Четная/нечетная	Не является ни четной, ни нечетной
Промежутки возрастания/убывания	Убывает на всей области
Значение при \(x=3\)	\(0.5\)
Значение при \(x=-1\)	Не определено (асимптота)

---

Если нужно построить график или есть еще вопросы — сообщите!