\int\limits_{\scriptsize \frac{\sqrt{3}}{5}}^{\scriptsize \frac{3}{5}}{d\,\frac{x}{9+25\,x^{2}}}{\;\mathrm{d}x}

Давайте решим данный определённый интеграл:

\[ \int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}} \frac{x}{9 + 25x^2} \, dx \]

Шаг 1: Анализ функции и метод интегрирования

Обратим внимание на вид функции: \(\frac{x}{9 + 25x^2}\). Такой интеграл хорошо решается при помощи подстановки.

Обозначим:

\[ u = 9 + 25x^2 \]

Тогда при дифференцировании:

\[ du = 50x \, dx \]

Отсюда:

\[ x \, dx = \frac{du}{50} \]

Теперь перепишем исходный интеграл:

\[ \int \frac{x}{9 + 25x^2} \, dx = \int \frac{\frac{du}{50}}{u} = \frac{1}{50} \int \frac{1}{u} \, du \]

Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования

Перепишем пределы в терминах \(u\):

• при \(x = \frac{\sqrt{3}}{5}\):

\[ u = 9 + 25 \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 9 + 25 \frac{3}{25} = 9 + 3 = 12 \]

• при \(x = \frac{3}{5}\):

\[ u = 9 + 25 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 9 + 25 \frac{9}{25} = 9 + 9 = 18 \]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Теперь:

\[ \int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}} \frac{x}{9 + 25x^2} \, dx = \frac{1}{50} \int_{12}^{18} \frac{1}{u} \, du \]

Интеграл \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u|\), поэтому:

\[ \frac{1}{50} [\ln|u|]_{12}^{18} = \frac{1}{50} (\ln 18 - \ln 12) \]

Используем свойства логарифмов:

\[ = \frac{1}{50} \ln \frac{18}{12} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{18}{12} = \frac{3 \times 6}{2 \times 6} = \frac{3}{2} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{1}{50} \ln \frac{3}{2} } \]

Это и есть значение данного определённого интеграла.