\int\limits_{\scriptsize \frac{\sqrt{3}}{5}}^{\scriptsize \frac{3}{5}}{d\,\frac{x}{9+25\,x^{2}}}{\;\mathrm{d}x}

Давайте решим данный определённый интеграл: \[ \int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}} \frac{x}{9 + 25x^2} \, dx \] **Шаг 1: Анализ функции и метод интегрирования** Обратим внимание на вид функции: \(\frac{x}{9 + 25x^2}\). Такой интеграл хорошо решается при помощи подстановки. Обозначим: \[ u = 9 + 25x^2 \] Тогда при дифференцировании: \[ du = 50x \, dx \] Отсюда: \[ x \, dx = \frac{du}{50} \] Теперь перепишем исходный интеграл: \[ \int \frac{x}{9 + 25x^2} \, dx = \int \frac{\frac{du}{50}}{u} = \frac{1}{50} \int \frac{1}{u} \, du \] **Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования** Перепишем пределы в терминах \(u\): - при \(x = \frac{\sqrt{3}}{5}\): \[ u = 9 + 25 \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 9 + 25 \frac{3}{25} = 9 + 3 = 12 \] - при \(x = \frac{3}{5}\): \[ u = 9 + 25 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 9 + 25 \frac{9}{25} = 9 + 9 = 18 \] **Шаг 3: Вычисление интеграла** Теперь: \[ \int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}} \frac{x}{9 + 25x^2} \, dx = \frac{1}{50} \int_{12}^{18} \frac{1}{u} \, du \] Интеграл \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u|\), поэтому: \[ \frac{1}{50} [\ln|u|]_{12}^{18} = \frac{1}{50} (\ln 18 - \ln 12) \] Используем свойства логарифмов: \[ = \frac{1}{50} \ln \frac{18}{12} \] Упростим дробь: \[ \frac{18}{12} = \frac{3 \times 6}{2 \times 6} = \frac{3}{2} \] **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{1}{50} \ln \frac{3}{2} } \] Это и есть значение данного определённого интеграла.