ответ
Давайте решим систему уравнений:
- \( x - y = 2xy \)
- \( x + y = 10xy \)
Шаг 1. Обозначим уравнения (1) и (2):
\[ x - y = 2xy \quad \quad \quad (1) \] \[ x + y = 10xy \quad \quad \quad (2) \]
Шаг 2. Попытаемся выразить \( y \) через \( x \) или наоборот. Для этого сложим уравнения (1) и (2):
\[ (x - y) + (x + y) = 2xy + 10xy \] \[ 2x = 12xy \] \[ 2x = 12xy \]
Делим обе части на 2:
\[ x = 6xy \]
Если \( x \neq 0 \), делим обе части на \( x \):
\[ 1 = 6 y \] \[ y = \frac{1}{6} \]
Шаг 3. Проверим, подходит ли полученное значение \( y = \frac{1}{6} \):
Из уравнения (2):
\[ x + \frac{1}{6} = 10x \times \frac{1}{6} \] \[ x + \frac{1}{6} = \frac{10x}{6} \] \[ x + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \]
Приведем левую сторону к общему знаменателю:
\[ \frac{3x}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \]
Заметим, что \( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \) и чтобы сложить с \( \frac{3x}{3} \), приведем к общему знаменателю 6:
\[ \frac{2x}{2} + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \]
Итак,
\[ \frac{3x}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \] \[ \frac{3x + 1}{6} = \frac{5x}{3} \]
Теперь умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
\[ 3x + 1 = 6 \times \frac{5x}{3} \] \[ 3x + 1 = 2 \times 5x \] \[ 3x + 1 = 10x \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 1 = 10x - 3x \] \[ 1 = 7x \] \[ x = \frac{1}{7} \]
Шаг 4. Проверим ещё раз уравнения для полученных значений:
- \( x = \frac{1}{7} \)
- \( y = \frac{1}{6} \)
Проверка в уравнении (1):
\[ x - y = 2xy \]
\[ \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = 2 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} \] \[ \text{Левая часть:} \quad \frac{6}{42} - \frac{7}{42} = -\frac{1}{42} \] \[ \правой: \quad 2 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} = 2 \times \frac{1}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21} \]
Очевидно, что \( -\frac{1}{42} \neq \frac{1}{21} \), значит, полученные значения не удовлетворяют уравнению (1).
Вывод:
Поскольку при выводе \( y = 1/6 \) получилось противоречие в проверке, возвращаемся к исходным уравнениям.
Обратный анализ:
Возьмем уравнение (1):
\[ x - y = 2xy \] Перенесем \( y \):
\[ x - y - 2xy = 0 \] \[ x - y(1 + 2x) = 0 \] \[ y(1 + 2x) = x \] \[ y = \frac{x}{1 + 2x} \quad \quad (3) \]
Подставим (3) в уравнение (2):
\[ x + y = 10xy \]
Подставляем \( y = \frac{x}{1 + 2x} \):
\[ x + \frac{x}{1 + 2x} = 10x \times \frac{x}{1 + 2x} \]
Левый направа с общим знаменателем \( 1 + 2x \):
\[ \frac{x(1 + 2x)}{1 + 2x} + \frac{x}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \]
Объединяем левую часть:
\[ \frac{x(1 + 2x) + x}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \] \[ \frac{x + 2x^2 + x}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \]
Объединяем числитель:
\[ \frac{2x + 2x^2}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \]
Теперь равенство верно, если числители равны:
\[ 2x + 2x^2 = 10x^2 \] \[ 2x + 2x^2 = 10x^2 \] \[ 2x = 10x^2 - 2x^2 = 8x^2 \] \[ 2x = 8x^2 \]
Если \( x \neq 0 \), делим обе части на \( 2x \):
\[ 1 = 4x \] \[ x = \frac{1}{4} \]
Теперь найдём \( y \):
\[ y = \frac{x}{1 + 2x} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + 2 \times \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{1/4}{3/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
Проверим ещё раз:
- В уравнении (1):
\[ x - y = 2xy \] \[ \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \] \[ \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = 2 \times \frac{1}{24} \] \[ \frac{1}{12} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \text{ — подходит} \]
- В уравнении (2):
\[ x + y = 10 xy \] \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 10 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \] \[ \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = 10 \times \frac{1}{24} \] \[ \frac{5}{12} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} \text{ — подходит} \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = \frac{1}{4}, \quad y = \frac{1}{6} } \]
Это решение системы уравнений.
