Ответ

Давайте решим систему уравнений: 1. \( x - y = 2xy \) 2. \( x + y = 10xy \) --- Шаг 1. Обозначим уравнения (1) и (2): \[ x - y = 2xy \quad \quad \quad (1) \] \[ x + y = 10xy \quad \quad \quad (2) \] --- Шаг 2. Попытаемся выразить \( y \) через \( x \) или наоборот. Для этого сложим уравнения (1) и (2): \[ (x - y) + (x + y) = 2xy + 10xy \] \[ 2x = 12xy \] \[ 2x = 12xy \] Делим обе части на 2: \[ x = 6xy \] Если \( x \neq 0 \), делим обе части на \( x \): \[ 1 = 6 y \] \[ y = \frac{1}{6} \] --- Шаг 3. Проверим, подходит ли полученное значение \( y = \frac{1}{6} \): Из уравнения (2): \[ x + \frac{1}{6} = 10x \times \frac{1}{6} \] \[ x + \frac{1}{6} = \frac{10x}{6} \] \[ x + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \] Приведем левую сторону к общему знаменателю: \[ \frac{3x}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \] Заметим, что \( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \) и чтобы сложить с \( \frac{3x}{3} \), приведем к общему знаменателю 6: \[ \frac{2x}{2} + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \] Итак, \[ \frac{3x}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5x}{3} \] \[ \frac{3x + 1}{6} = \frac{5x}{3} \] Теперь умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 3x + 1 = 6 \times \frac{5x}{3} \] \[ 3x + 1 = 2 \times 5x \] \[ 3x + 1 = 10x \] Переносим все в одну сторону: \[ 1 = 10x - 3x \] \[ 1 = 7x \] \[ x = \frac{1}{7} \] --- Шаг 4. Проверим ещё раз уравнения для полученных значений: - \( x = \frac{1}{7} \) - \( y = \frac{1}{6} \) Проверка в уравнении (1): \[ x - y = 2xy \] \[ \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = 2 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} \] \[ \text{Левая часть:} \quad \frac{6}{42} - \frac{7}{42} = -\frac{1}{42} \] \[ \правой: \quad 2 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} = 2 \times \frac{1}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21} \] Очевидно, что \( -\frac{1}{42} \neq \frac{1}{21} \), значит, полученные значения не удовлетворяют уравнению (1). --- **Вывод:** Поскольку при выводе \( y = 1/6 \) получилось противоречие в проверке, возвращаемся к исходным уравнениям. --- **Обратный анализ:** Возьмем уравнение (1): \[ x - y = 2xy \] Перенесем \( y \): \[ x - y - 2xy = 0 \] \[ x - y(1 + 2x) = 0 \] \[ y(1 + 2x) = x \] \[ y = \frac{x}{1 + 2x} \quad \quad (3) \] Подставим (3) в уравнение (2): \[ x + y = 10xy \] Подставляем \( y = \frac{x}{1 + 2x} \): \[ x + \frac{x}{1 + 2x} = 10x \times \frac{x}{1 + 2x} \] Левый направа с общим знаменателем \( 1 + 2x \): \[ \frac{x(1 + 2x)}{1 + 2x} + \frac{x}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \] Объединяем левую часть: \[ \frac{x(1 + 2x) + x}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \] \[ \frac{x + 2x^2 + x}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \] Объединяем числитель: \[ \frac{2x + 2x^2}{1 + 2x} = \frac{10x^2}{1 + 2x} \] Теперь равенство верно, если числители равны: \[ 2x + 2x^2 = 10x^2 \] \[ 2x + 2x^2 = 10x^2 \] \[ 2x = 10x^2 - 2x^2 = 8x^2 \] \[ 2x = 8x^2 \] Если \( x \neq 0 \), делим обе части на \( 2x \): \[ 1 = 4x \] \[ x = \frac{1}{4} \] Теперь найдём \( y \): \[ y = \frac{x}{1 + 2x} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + 2 \times \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{1/4}{3/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] Проверим ещё раз: - В уравнении (1): \[ x - y = 2xy \] \[ \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \] \[ \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = 2 \times \frac{1}{24} \] \[ \frac{1}{12} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \text{ — подходит} \] - В уравнении (2): \[ x + y = 10 xy \] \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 10 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \] \[ \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = 10 \times \frac{1}{24} \] \[ \frac{5}{12} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} \text{ — подходит} \] --- **Ответ:** \[ \boxed{ x = \frac{1}{4}, \quad y = \frac{1}{6} } \] Это решение системы уравнений.