Уравнение касательной плоскости к поверхности z = x² + y² в точке M(1, -3, 10) имеет вид ?
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача: Найти уравнение касательной плоскости к поверхности \( z = x^2 + y^2 \) в точке \( M(1, -3, 10) \).
Шаг 1. Проверка, что точка принадлежит поверхности
Сначала убедимся, что точка \( M(1, -3, 10) \) лежит на поверхности.
Для этого подставим \( x=1 \) и \( y=-3 \) в выражение для \( z \):
\[ z = x^2 + y^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \]
Значение \( z \) совпадает с координатой точки. Значит, точка действительно лежит на поверхности.
Шаг 2. Находим частные производные функции \( z = f(x,y) = x^2 + y^2 \)
Это необходимо для определения уравнения касательной плоскости.
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \]
Шаг 3. Вычисляем градиент в точке \( M(1, -3) \)
Градиент в точке — вектор, составляющие которого — частные производные:
\[ \nabla f(1, -3) = \left( \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,-3)}, \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,-3)} \right) \]
Подставим:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \times 1 = 2 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2 \times (-3) = -6 \]
Итак,
\[ \nabla f(1, -3) = (2, -6) \]
Шаг 4. Построение уравнения касательной плоскости
Общая формула уравнения касательной (тангенциальной) плоскости к поверхности \( z = f(x,y) \) в точке \( (x_0, y_0, z_0) \):
\[ z = z_0 + \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} (x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} (y - y_0) \]
Подставим наши значения:
\[ z = 10 + 2(x - 1) - 6(y + 3) \]
Раскроем скобки:
\[ z = 10 + 2x - 2 - 6y - 18 \]
Объединим члены:
\[ z = (10 - 2 - 18) + 2x - 6y = -10 + 2x - 6y \]
Ответ:
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке \( M(1, -3, 10) \):
\[ \boxed{ z = 2x - 6y - 10 } \]
Если нужно, я могу помочь с дальнейшими пояснениями или решением других задач!
