Выберите один ответ: 4) 2) 1) 3) 5)

Давайте разберём задачи на гипотезу Хубера-Мизеса для октаэдрических касательных напряжений.

Общая идея:

Гипотеза Хубера-Мизеса для твердого тела говорит, что приблизительно равенство 2σ_авр с максимальными касательными напряжениями происходит, когда напряжения в теле соответствуют определённой комбинации основных напряжений.

Из условия для кубической частицы с октаэдрической формой (как у нас), напряжения по осям таковы:

• На оси x: σ_x = σ
• На оси y: σ_y = 3σ
• На оси z: σ_z = 2σ

Гипотеза Хубера-Мизеса для октаэдра гласит, что максимум касательных напряжений равен:

\[ \sigma_{max} = \frac{1}{2} (\sigma_1 - \sigma_3) \]

где \(\sigma_1\) и \(\sigma_3\) — основные напряжения.

Рассмотрим основные напряжения:

Основные напряжения для данной задачи:

• \( \sigma_1 = 3\sigma \)
• \( \sigma_2 = 2\sigma \)
• \( \sigma_3 = \sigma \)

(наиболее большой — 3σ, наименьший — σ).

Гипотеза Хубера-Мизеса говорит, что касательные напряжения с максимальным модулем равны:

\[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{3\sigma - \sigma}{2} = \frac{2\sigma}{2} = \sigma \]

Но в вопросе речь идет о равенстве эквивалентного напряжения, которое по гипотезе равно:

\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} \]

Подставим:

\[ \sigma_1 = 3\sigma \] \[ \sigma_2 = 2\sigma \] \[ \sigma_3 = \sigma \]

Получим:

\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\frac{(3\sigma - 2\sigma)^2 + (2\sigma - \sigma)^2 + (\sigma - 3\sigma)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(\sigma)^2 + (\sigma)^2 + (-2\sigma)^2}{2}} = \sqrt{\frac{\sigma^2 + \sigma^2 + 4\sigma^2}{2}} = \sqrt{\frac{6\sigma^2}{2}} = \sqrt{3\sigma^2} = \sigma \sqrt{3} \]

Поэтому эквивалентное напряжение:

\[ \sigma_{равн} = \sigma \sqrt{3} \]

Ответ: Это совпадает с пунктом 4) \(\sigma \sqrt{3}\).

ИТОГ:

Правильный ответ — номер 4).