Давайте разберем задачу по этапам, чтобы понять, что нужно найти и как это сделать.
Задача:
Дана функция скорости точки (V(t) = t + t^2) (в м/с). Нужно найти пройденный путь за время с (t=1) до (t=3) секунд.
Что нужно найти:
— Путь, пройденный за данный промежуток времени.
— Формула для пути:
[
S = \int_{t_1}^{t_2} V(t) , dt
]
где (t_1=1) сек, (t_2=3) сек.
Шаг 1: Запись интеграла для пути
[
S = \int_{1}^{3} (t + t^2) , dt
]
Шаг 2: Расчет интеграла
Интегрируем по частям:
[
\int (t + t^2) , dt = \int t , dt + \int t^2 , dt
]
— интеграл от (t):
[
\int t , dt = \frac{t^2}{2}
]
— интеграл от (t^2):
[
\int t^2 , dt = \frac{t^3}{3}
]
Следовательно,
[
\int (t + t^2) , dt = \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}
]
Шаг 3: Подставляем границы интегрирования
Теперь вычисляем значение выражения в верхней и нижней границах:
[
S = \left[\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}\right]_{1}^{3}
]
Для (t=3):
[
\frac{3^2}{2} + \frac{3^3}{3} = \frac{9}{2} + \frac{27}{3} = \frac{9}{2} + 9 = 4.5 + 9 = 13.5
]
Для (t=1):
[
\frac{1^2}{2} + \frac{1^3}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333
]
Шаг 4: Находим разность
[
S = 13.5 - 0.8333 \approx 12.6667, \text{м}
]
То есть пройденный путь — примерно 12 1/3 м.
Итоговые ответы:
Правильный вариант:
2) 12 1/3 м
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить подробнее — пишите!
