Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = (1/3)^x—2 на отрезке [0;2]

Давайте решим задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2 \) на отрезке \([0; 2]\). Шаг 1. **Определение функции и области определения** Функция: \[ y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2 \] Область: \[ x \in [0, 2] \] Шаг 2. **Анализ функции** Функция является показательной с основанием \(\frac{1}{3}\), которое меньше 1. Следовательно, она убывает на всей области: при увеличении \(x\) значения \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\) уменьшаются. Шаг 3. **Нахождение производной (определение экстремумов)** Для выяснения поведения функции вычислим производную: \[ y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2 \] Запишем \(\left(\frac{1}{3}\right)^x = e^{x \ln \frac{1}{3}}\) Производная: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x \ln \frac{1}{3}} \right) = e^{x \ln \frac{1}{3}} \cdot \ln \frac{1}{3} \] Или более компактно: \[ y' = \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \ln \frac{1}{3} \] Здесь \(\ln \frac{1}{3} < 0 \), поскольку \(0 < \frac{1}{3} < 1\). Значит, \[ y' < 0 \text{ для всех } x \] Это означает, что функция строго убывает на всей области. Шаг 4. **Определение экстремумов и поиска на границах** Так как функция убывает, её максимум достигается при минимальном \(x\), а минимум — при максимальном \(x\). На отрезке \([0, 2]\): - Максимальное значение функции при \(x=0\): \[ y(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 - 2 = 1 - 2 = -1 \] - Минимальное значение функции при \(x=2\): \[ y(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 = \frac{1}{9} - 2 = - \frac{17}{9} \approx -1,888... \] **Ответ:** - Наибольшее значение функции на отрезке \([0; 2]\): \(-1\) при \(x = 0\). - Наименьшее значение функции: \(-\frac{17}{9}\) при \(x=2\). Если нужны более подробные объяснения или помощь с графиком — скажите!