найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = (1/3)^x—2 на отрезке [0;2]

Давайте решим задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2 \) на отрезке \([0; 2]\).

Шаг 1. Определение функции и области определения

Функция:
\[ y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2 \]

Область:
\[ x \in [0, 2] \]

Шаг 2. Анализ функции

Функция является показательной с основанием \(\frac{1}{3}\), которое меньше 1.
Следовательно, она убывает на всей области: при увеличении \(x\) значения \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\) уменьшаются.

Шаг 3. Нахождение производной (определение экстремумов)

Для выяснения поведения функции вычислим производную:

\[ y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2 \]

Запишем \(\left(\frac{1}{3}\right)^x = e^{x \ln \frac{1}{3}}\)

Производная:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x \ln \frac{1}{3}} \right) = e^{x \ln \frac{1}{3}} \cdot \ln \frac{1}{3} \]

Или более компактно:

\[ y' = \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \ln \frac{1}{3} \]

Здесь \(\ln \frac{1}{3} < 0 \), поскольку \(0 < \frac{1}{3} < 1\).

Значит,
\[ y' < 0 \text{ для всех } x \]

Это означает, что функция строго убывает на всей области.

Шаг 4. Определение экстремумов и поиска на границах

Так как функция убывает, её максимум достигается при минимальном \(x\), а минимум — при максимальном \(x\).

На отрезке \([0, 2]\):

• Максимальное значение функции при \(x=0\):

\[ y(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 - 2 = 1 - 2 = -1 \]

• Минимальное значение функции при \(x=2\):

\[ y(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 = \frac{1}{9} - 2 = - \frac{17}{9} \approx -1,888... \]

Ответ:

• Наибольшее значение функции на отрезке \([0; 2]\): \(-1\) при \(x = 0\).
• Наименьшее значение функции: \(-\frac{17}{9}\) при \(x=2\).

Если нужны более подробные объяснения или помощь с графиком — скажите!