Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти смешанное произведение векторов с вершиной в точке A, то есть вычислить объем параллелепипеда, образованного тремя векторами, исходящими из точки A.
Шаг 1. Записываем векторы
Пусть точка A — это начальная точка, тогда наши векторы исходят из A и направлены к точкам B, C, D.
Вектор AB:
[
\vec{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A) = (2 - 1;\ 3 - 2;\ 0 - (-1)) = (1;\ 1;\ 1)
]
Вектор AC:
[
\vec{AC} = (3 - 1;\ 6 - 2;\ -3 - (-1)) = (2;\ 4;\ -2)
]
Вектор AD:
[
\vec{AD} = (0 - 1;\ 0 - 2;\ -4 - (-1)) = (-1;\ -2;\ -3)
]
Шаг 2. Вычисляем смешанное произведение
Смешанное произведение трех векторов (\vec{AB}), (\vec{AC}), (\vec{AD}) задается формулой:
[
[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \det \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \
2 & 4 & -2 \
-1 & -2 & -3
\end{bmatrix}
]
Шаг 3. Вычисляем детерминант
Рассчитаем детерминант этого 3x3:
[
\det = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 4 & -2 \ -2 & -3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & -2 \ -1 & -3 \end{bmatrix} + 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & 4 \ -1 & -2 \end{bmatrix}
]
Посчитаем каждый минор отдельно:
(\det \begin{bmatrix} 4 & -2 \ -2 & -3 \end{bmatrix} = (4)(-3) - (-2)(-2) = -12 - 4 = -16)
(\det \begin{bmatrix} 2 & -2 \ -1 & -3 \end{bmatrix} = (2)(-3) - (-2)(-1) = -6 - 2 = -8)
(\det \begin{bmatrix} 2 & 4 \ -1 & -2 \end{bmatrix} = (2)(-2) - (4)(-1) = -4 + 4 = 0)
Теперь подставляем в выражение для детерминанта:
[
\det = 1 \cdot (-16) - 1 \cdot (-8) + 1 \cdot 0 = -16 + 8 + 0 = -8
]
Ответ:
[
\boxed{-8}
]
Модуль этого числа — 8 — равен объему параллелепипеда, а знак показывает ориентацию. В задачах обычно берут абсолютное значение, потому что важен объем.
Итак, смешанное произведение равно (-8).
