Даны точки А(1; 2; -1), B(2; 3; 0), C(3; 6; -3) и D(0; 0; -4). Найти смешанное произведение векторов с вершиной в точке А.
Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти смешанное произведение векторов с вершиной в точке A, то есть вычислить объем параллелепипеда, образованного тремя векторами, исходящими из точки A.
Шаг 1. Записываем векторы
Пусть точка A — это начальная точка, тогда наши векторы исходят из A и направлены к точкам B, C, D.
Вектор AB:
\[ \vec{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A) = (2 - 1;\ 3 - 2;\ 0 - (-1)) = (1;\ 1;\ 1) \]Вектор AC:
\[ \vec{AC} = (3 - 1;\ 6 - 2;\ -3 - (-1)) = (2;\ 4;\ -2) \]Вектор AD:
\[ \vec{AD} = (0 - 1;\ 0 - 2;\ -4 - (-1)) = (-1;\ -2;\ -3) \]
Шаг 2. Вычисляем смешанное произведение
Смешанное произведение трех векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\) задается формулой:
\[ [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \]
Шаг 3. Вычисляем детерминант
Рассчитаем детерминант этого 3x3:
\[ \det = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} + 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \]
Посчитаем каждый минор отдельно:
\(\det \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = (4)(-3) - (-2)(-2) = -12 - 4 = -16\)
\(\det \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} = (2)(-3) - (-2)(-1) = -6 - 2 = -8\)
\(\det \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = (2)(-2) - (4)(-1) = -4 + 4 = 0\)
Теперь подставляем в выражение для детерминанта:
\[ \det = 1 \cdot (-16) - 1 \cdot (-8) + 1 \cdot 0 = -16 + 8 + 0 = -8 \]
Ответ:
\[ \boxed{-8} \]
Модуль этого числа — 8 — равен объему параллелепипеда, а знак показывает ориентацию. В задачах обычно берут абсолютное значение, потому что важен объем.
Итак, смешанное произведение равно \(-8\).
