Эквивалентное напряжение по гипотезе октаэдрических касательных напряжений (гипотеза Хубера ‒ Мизеса) при упрощенном плоском напряженном состоянии… 3.2_18 Выберите один ответ: 5)…

Давайте разберем задачу, связанной с эквивалентным напряжением по гипотезе октаэдрических касательных напряжений (гипотеза Хубера — Мизеса) при упрощенном плоском напряженном состоянии.

Что такое гипотеза Хубера — Мизеса?
Она позволяет находить эквивалентное напряжение (напряжение, при котором материал ведет себя так же, как при совокупности трех независимых напряжений), исходя из компонент изначального напряженного состояния.

Формула гипотезы Мизеса:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} \]

где \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) — главные напряжения.

Упростим задачу:
Обозначим исходное напряжение как \(\sigma\) и касательное напряжение как \(\tau\). В плоском состоянии напряжений обычно имеются два главных напряжения и касательное (смежное) напряжение.

Если в условии речь идет об упрощенном выражении, то часто оно соответствует выражению, при котором:

• одни компоненты равны \(\sigma\) (например, нормальные напряжения),
• другие — касательные \(\tau\).

По гипотезе Мизеса в двухмерном состоянии напряжений (плоском состоянии) эквивалентное напряжение выражается как:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2} \]

или в более распространенной форме:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2} \]

Варианты ответов:

1. \(\sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\)
2. \(\sigma_{экв} = \sqrt{0.25 \sigma^2 + \tau^2}\)
3. \(\sigma_{экв} = \sigma + \tau\)
4. \(\sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2}\)
5. \(\sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 4 \tau^2}\)

Правильный ответ:
Наиболее корректное выражение гипотезы Мизеса для двухмерного состояния — это вариант 4:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2} \]

Ответ: 4)